Tenseur : Covariant et contravariant (Algèbre linéaire)

razakawsar (25)in #tenseur • 7 years ago

                                           Tenseur

Les tenseurs sont des objets mathématiques qui se transforment d'une manière particulière lorsque les vecteurs de base changent

Un tenseur de rang 1 est un vecteur.

Choisissons de nouveaux vecteurs de base.

Nous décrivons généralement un vecteur par combien de chacun des vecteurs de base nous devons ajouter pour construire le vecteur. Les coordonnées du vecteurs sont (4,2,6).

Mais il y a aussi une autre façon de repérer ce vecteur. En prenant le produit scalaire du vecteur avec chacun des vecteurs de base.

Contravariant

Décrivons le vecteurs par ces coordonnées

Ici, le vecteur a les composantes 4, 2 et 6.
Supposons que nous doublons la longueur de chacun des vecteurs de base

Les composants de ce vecteur sont maintenant 2,1 et 3, ce qui signifie que les composants ont diminués.
Quand nous avons augmenté les longueurs des vecteurs de base, les composants de notre vecteur ont diminués.
Si nous diminuons les longueurs des vecteurs de base, les composantes de notre vecteur augmentent.
Ces deux quantités changent à l'inverse l'une de l'autre, ce sont les composantes contravariants du vecteur.
Décrire un vecteur en termes de composantes contravariants est la façon dont nous décrivons habituellement un vecteur.

Covariant

Supposons que nous décrivons plutôt le vecteur en termes de son produit scalaire avec chacun des vecteurs de base.
Si les vecteurs de base sont de longueur 1, alors le résultat de ces produits scalaires sera ces trois longueurs.

Si nous doublons la longueur d'un vecteur de base, alors son produit scalaire associé doublera également
Lorsque nous augmentons la longueur des vecteurs de base, les produits scalaires augmentent également

Lorsque nous diminuons les longueurs des vecteurs de base, les produits scalaires diminuent également

Ces deux quantités varient de la même manière, ce sont les composantes covariants du vecteur.

Indice et exposant

Pour distinguer la variable covariant de la variable contravariant, nous utilisons les exposants et les indices
covariants

Contravariants

Produit contravariant

Supposons que nous avons deux vecteurs différents.
Appelons le premier vecteur V et le deuxième vecteur P, et continuons toujours à utiliser ces noms, même si les vecteurs de base changent

Supposons que l'on multiplie l'un des composants contra variant de V par l'un des composants contravariants de P

Si nous considérons toutes les manières possibles de le faire, nous obtiendrions une matrice

Ceci est un exemple d'un tenseur de rang 2 avec deux valeurs exposants contravariants

Produit covariant et contravariant

Supposons que nous multiplions les composants covariants de V avec des composants de contravariant de P

Cela nous donnera une description différente du même tenseur de rang 2, avec une valeur d'indice covariant et une valeur d'indice contravariant

Produit covariant et covariant

Supposons que nous multiplions maintenant deux composantes covariants de chacun des deux vecteurs

Cela nous donnera une description différente du même tenseur de rang 2, avec deux valeurs d'indice covariants

Tenseur rang 1
Un tenseur de rang 1 est un vecteur

Un tenseur de rang 1 a un nombre associé à chacun des vecteurs de base

Tenseur rang 2

Dans un tenseur de rang 2, au lieu d'associer un nombre à chaque vecteur de base, on associe un nombre à chaque combinaison possible de deux vecteurs de base

Tenseur rang 3

Dans un tenseur de rang 3, nous associons un nombre à chaque combinaison possible de trois vecteurs de base

Un tenseur de rang 3 peut être composé des combinaisons de composants de trois vecteurs

Nous pouvons créer une description différente de ce tenseur en utilisant différentes valeurs indices contravariants et covariantes pour le composant des trois vecteurs