Aplicación del Método Simplex a un problema de maximización de ganancias fundamentado en los tópicos del Álgebra Lineal

Hola estimados amigos de #stem-espanol y comunidad de steemit en general a continuación les presento un artículo referente a uno de los tópicos más importantes en la Investigación de Operaciones, el cual es el Método Simplex utilizado para resolver Modelos de Programación Lineal.

Pero ustedes se preguntarán ¿Que es un modelo de Programación Lineal?, un Modelo es una representación matemática de la realidad, en cuanto a la programación lineal según Taha(2012)

La programación lineal está diseñada para modelos con funciones objetivo y restricciones lineales

Es decir, para poder aplicar la programación lineal el modelo matemático debe constar únicamente de igualdades y desigualdades lineales. En el presente artículo se explicará el Método Simplex que es el más utilizado para resolver modelos de Programacíon Lineal aplicándolo a un problema típico, este método fue creado en 1947 por el matemático norteamericano George Dantzig.

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Problema sobre la Elaboración de las Hallacas

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La señora Medina elabora hallacas durante todo el año en la ciudad de Coro, en diciembre del año 2017 ella dispone de Bs 5.000.000 para invertirlos en la elaboración de hallacas, el costo para elaborar el relleno de cada hallaca es el siguiente:

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El costo de las hojas de plátano para envolverlas es de 1.000 Bs por cada hallaca, el costo de la harina y los otros ingredientes es de 8.000 Bs por hallaca, el costo del pabilo gastado para amarrar una hallaca es de 500 bs. La comunidad del sector le solicita a la señora Medina que elabore como máximo 120 hallacas que no sean de guiso tradicional, adicionalmente como medida para controlar el colesterol de la población, la comunidad le ha pedido a la señora Medina que el número de hallacas de guiso tradicional más el doble de hallacas de cochino sea a lo sumo 200, si cada hallaca se vende en 25.000 Bs. Determine los niveles de producción de hallacas que maximizan las ganancias de la señora Medina de conformidad con su presupuesto y las restricciones impuestas por la comunidad.

Formulación del Modelo de Programación Lineal

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Analizando el problema se elabora la siguiente tabla que refleja el costo para elaborar cada hallaca (se calcula mediante sumar el costo del relleno, las hojas de plátano, el pabilo, la harina y los otros ingredientes) y la ganancia obtenida

Tabla sobre costos y ganancias. Fuente: Elaboración propia

Las variables de decisión serían el número de hallacas de cada tipo que se desea producir x₁ para guiso tradicional, x₂ cochino, y x₃ caraotas. Una vez determinadas las variables de decisión se efectúan los siguientes pasos:

1° Encontrar la Función Objetivo

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La función objetivo representa la medida de efectividad del sistema, es decir, lo que se quiere maximizar o minimizar. Como se quiere maximizar la ganancia la función objetivo queda definida de la siguiente forma

2° Determinar las Restricciones del Modelo

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Las restricciones del sistema expresan cantidades de recursos limitados o requerimientos que se deben satisfacer. En relación al presupuesto se dispone de un máximo de Bs 5.000.000 que deben ser invertidos entre todas las hallacas

Como la comunidad ha solicitado que como máximo solo 120 hallacas sean de algo diferente al guiso tradicional, es decir, la suma del número de hallacas de cochino y caraotas debe ser como máximo 120, se establece la siguiente restricción

La medida para controlar el colesterol de la población en la comunidad implica que el número de hallacas de guiso tradicional más el doble de hallacas de cochino sea a lo sumo 200, es decir

Estableciendo el siguiente modelo de programación lineal

Observe que se incluye al final una restricción de no negatividad debido a que los valores de las variables de decisión no pueden ser negativos ya que representan las cantidades de hallacas de cada tipo elaboradas. Para aplicar el método simplex se expresa el modelo en forma típica en la cual las desigualdades se convierten en igualdades introduciendo variables de holgura de la siguiente forma

Las variables de holgura deben tomar valores mayores o iguales a cero. Dicho modelo se representa de forma tabular, tal como se muestra a continuación

Tabla Inicial del Método Simplex. Fuente: Elaboración propia

Una vez determinada esta forma tabular se procede a resolver aplicando operaciones similares a las transformaciones algebraicas de Gauss-Jordan en matrices, se debe determinar una variable entrante y una variable básica saliente en cada iteración, según Taha (2012) el criterio a usar es el siguiente:

A) La variable de entrada en un problema de maximización (minimización) es la variable no básica con el coeficiente más negativo (positivo) en la fila Z, el óptimo se alcanza en la iteración en las cual los coeficientes en la fila Z son no negativos (no positivos).

B) La variable de salida es la variable básica asociada con la relación mínima no negativa con el denominador estrictamente positivo.

Iteración N° 0 del Método Simplex. Fuente: Elaboración propia

El coeficiente negativo con mayor valor absoluto es -9.500 por lo tanto la VE es x₂, calculando las relaciones entre la columna b y la fila seleccionada se obtiene

Por lo tanto, la Variable Básica Saliente es h₃, luego de esto se aplican operaciones de fila de forma tal que la en la columna seleccionada (columna pivote) todos los elementos sean igual a 0 a excepción del elemento en la intersección entre la fila y la columna seleccionada (elemento pivote, el cual debe ser igual a 1). Se divide la fila 4 entre 2 y se aplican las operaciones de fila obteniendo la siguiente tabla para la iteración N° 1

Iteración N° 1 del Método Simplex. Fuente: Elaboración propia

Se procede a iterar nuevamente utilizando los mismos criterios, VE: x₃ VBS: h₂

Iteración N° 2 del Método Simplex. Fuente: Elaboración propia

VE: x₁ VBS: h₁, la fila pivote se divide entre 20.000

Iteración N° 3 del Método Simplex. Fuente: Elaboración propia

Como todos los valores en la fila Z son positivos, la solución obtenida es óptima, es decir, los valores que maximizan la función objetivo son los siguientes:

Lo cual para la señora Medina significa que si quiere maximizar sus ganancias debe preparar 156 hallacas de guiso tradicional, 22 de cochino y 98 de caraotas, obteniendo una ganancia total de Bs. 1.900.000, es decir, un 38% de su inversión original. Este tipo de problemas pone en evidencia la utilidad del Método Simplex en contextos de la vida cotidiana permitiendo maximizar las ganancias al realizar una inversión.

Referencias Bibliográficas

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Taha, Hamdy A. (2012) Investigación de Operaciones 9° Edición. Editorial Pearson.

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