Aplicación de los Sistemas de Álgebra Computacional (CAS) en la solución de problemas relacionados con el uso de Derivadas de Funciones, Ejemplo: Satélite en órbita alrededor de la Tierra

Un Sistema de Álgebra Computacional (CAS por sus siglas en inglés Computer Algebra System) es un software que facilita las operaciones matemáticas y el cálculo simbólico, es decir, cálculos matemáticos usando valores simbólicos (variables y expresiones) en lugar de valores numéricos. Los CAS son de utilidad en todas las áreas de la matemática, por ejemplo en el cálculo diferencial e integral permiten calcular derivadas no solo de forma numérica sino también de forma simbólica, en este artículo se muestra un problema de aplicación de las derivadas en el cual se utilizaron dos Sistemas de Álgebra Computacional como ayuda en su proceso de solución.

En este caso de estudio se utilizaron los Sistemas de Álgebra Computacional Maxima y WolframAlpha, sin embargo, existen otros CAS en la actualidad que pueden usarse en este tipo de problemas. A continuación se muestra un problema de aplicación de las derivadas, específicamente de razones de cambio relacionadas:

Un satélite artificial está en una órbita elíptica alrededor de la tierra. Su distancia r (en kilómetros) desde el centro de la tierra está dada por

Donde θ es el ángulo medido desde el punto en la órbita más próximo a la superficie terrestre (ver la Imagen N° 1).

a) Determine la altitud del satélite en el perigeo (el punto más próximo a la superficie terrestre) y en el apogeo (el punto más apartado de la superficie terrestre), use 6378 Km para el radio de la tierra.

b) En el instante en que θ es de 120 grados, el ángulo θ aumenta a razón de 2,7 grados/min. Encuentre la altitud del satélite y la razón a la que esta cambia en este instante.

Solución:

Parte a) La altitud del satélite viene dada por la resta de la distancia al centro de la tierra y el radio de la tierra, es decir:

Para el perigeo se cumple que el angulo mide o° según se puede apreciar en la imagen N° 1, entonces

Para el apogeo el ángulo mide 180°, luego

Parte b) En el instante en que θ es de 120 grados la altitud se calcula mediante la siguiente expresión:

En relación a la razón a la que cambia la altitud en el tiempo se trata de un problema de razones de cambio relacionadas, se debe determinar la razón a la que cambia la altitud en función del tiempo, expresando este hecho mediante derivadas se obtiene:

El valor al cual cambia el ángulo en función del tiempo, representa la siguiente razón de cambio

Se convierte la razón de cambio y el ángulo a radianes para poder trabajar usando las fórmulas de derivación generales

La razón de cambio

Corresponde a la primera derivada de la función altura por lo tanto

Utilizando máxima se resuelve la derivada mediante la siguiente expresión

diff((8037/(1+0.12*cos (x)))-6378,x,1);

Imagen N° 2 Resolución de la derivada utilizando Maxima
Fuente: Elaboración propia

La misma derivada puede resolverse usando WolframAlpha con el siguiente código

diff((8037/(1+0.12*cos (x)))-6378)

Imagen N° 3 Resolución de la derivada utilizando WolframAlpha
Fuente: Elaboración propia

Obteniendo

Sustituyendo en la formula que relaciona las dos razones de cambio se obtiene:

Por lo tanto la altitud del satélite cambia a razón de 44,54 Km por minuto, como es un valor positivo significa que en ese instante de tiempo el satélite se está alejando de la tierra.

En la resolución del problema anteriormente expuesto se evidenció la utilidad de los Sistemas de Álgebra Computacional al permitir resolver operaciones matemáticas de forma simbólica, sin embargo, es muy importante destacar que el arte del modelaje matemático solo puede ser realizado por los seres humanos, por lo tanto, se puede establecer que la tecnología por muy buena que sea si no está acompañada de los conocimientos necesarios para interpretar la realidad y convertirla en un modelo matemático no puede ser aplicada a problemas de la vida real.