Matemática dinámica: aprendiendo a realizar simulaciones con GeoGebra Classic 5. (Epicicloide y cáustica)

Saludos estimados lectores y en especial a los miembros que me leen de la comunidad #stem-espanol, para continuar aprendiendo sobre el uso del software GeoGebra les traigo un par de simulaciones donde exploraremos nuevas herramientas y haremos especial uso de la barra de entrada, para los que no están al tanto sobre que es GeoGebra los invito a pasar por mi publicación anterior donde hice una introducción a este maravilloso software de matemática dinámica, en esta podrán encontrar una pequeña explicación sobre las opciones básica y algunas herramientas que usamos las cuales ya no serán explicadas en el presente artículo así que, antes de continuar leyendo sería bueno que le dieran un vistazo.

Luego de haber realizado mi primera animación con GeoGebra la cual trató sobre la cicloide me encontré con otras fascinantes curvas del tipo cicloidal siendo una de ellas esta curva tiene un gran parecido con la cicloide debido a que se genera por la trayectoria de un punto sobre una circunferencia; siendo la diferencia que esta circunferencia no rueda sobre una recta sino sobre la parte externa de otra circunferencia de radio mayor generando increíbles formas entre ellas las muy conocidas cardioide y nefroide, formalmente una epicicloide

Sin nada más que decir, empecemos...

Epicicloide.

Como les dije en el post anterior lo más importante antes de comenzar a hacer nuestra simulación es conocer bien como se forma nuestro fenómeno, en el caso de la epicicloide ya sabemos cómo se genera y además conocemos que sus ecuaciones paramétricas vienen dadas por:

Empezaremos haciendo uso de estas ecuaciones escribiendolas en la barra de entrada, primero para la coordenada en x:

Al hacer esto y no tener definido el valor de r y R se crearán automáticamente deslizadores para cada uno lo cual es conveniente, por nuestra parte crearemos un deslizador "t"; ademas se mostraran las siguientes gráficas las cuales ocultaremos:

Luego de esto crearemos la circunferencia directriz, usando la herramienta de centro, radio situaremos nuestro centro en el orígen y haciendo uso del deslizador creado pondremos un radio R que, coincidiendo con las ecuaciones paramétricas corresponde al radio de la circunferencia directriz:

En la primera casilla de expresión escribiremos en la segunda escribiremos como parámetro pondremos como valor inicial y como valor final

Luego de esto crearemos una circunferencia con centro en el punto móvil y radio "r" la cual servirá como base para la circunferencia generatriz:

Al hacer esto crearemos una recta que pase por el centro de la circunferencia directriz y por el centro de la circunferencia antes creada:

Lo cual nos genera lo siguiente:

El resultado es el siguiente:

En este punto ya tenemos toda nuestra simulación realizada, pues podemos ver una circunferencia rodando sobre otra y el punto describiendo la curva... Solo falta como siempre ocultar los objetos que están demás, agregar colores y estilos.

Si jugamos con los radios de las circunferencias obtenemos diferentes formas interesantes, por ejemplo:

Si los radios son iguales se genera un cardioide:

Si el radio de la circunferencia generatriz es igual a la mitad del radio de la circunferencia directriz se produce un nefroide.

Algo muy interesante es que el cardioide aparece en la naturaleza en la forma de algunas semillas y a mi parecer lo más interesante es que aparece como la cáustica cuando los rayos de luz son reflejados por una superficie circular y el foco se encuentra en el borde de ella.

Una cáustica son zonas donde los rayos de luz se concentran, un ejemplo de cáustica muy común es cuando tenemos un vaso de cristal y los rayos de luz lo atraviesan, podemos ver reflejada en una superficie su sombra y zonas brillantes, estás son las cáusticas.

Cardioide como cáustica.

Cuando los rayos de luz son reflejados por una superficie circular y el foco se encuentra en el borde de la superficie, la envolvente de estos rayos da como resultado una cáustica en forma de cardioide lo cual es bastante llamativo.

(Foto tomada por mi con mi teléfono celular Síragon SP-5050)

Sabemos que la cáustica en forma de cardioide se forma por los rayos que inciden de un foco sobre una superficie circular así que empecemos haciendo esto, crearemos una circunferencia y sobre ella un punto que será nuestro foco:

luego de esto crearemos un deslizador "t" y otro punto sobre la circunferencia al cual le aplicaremos la herramienta de rotación seleccionando como centro de rotación el centro de nuestra circunferencia, usaremos como ángulo de rotación el deslizador "t":

El punto móvil será el lugar donde choca el rayo incidente, como la cáustica se forma por todos los rayos que llegan a la superficie haremos que este punto se mueva sobre la superficie para recrear los rayos incidiendo sobre toda la superficie, creamos un segmento el cuál será el rayo incidente que vaya desde el foco al punto móvil:

El resultado de lo que hemos hecho hasta ahora es lo siguiente:

Ya tenemos nuestros rayos incidentes ahora debemos crear los rayos que se reflejan, para esto debemos tener en cuenta la ley de reflexión la cual nos dice que el ángulo del rayo reflejado es igual al ángulo del rayo incidente, estos ángulos son medidos respecto a la normal a la superficie en el punto donde incide el rayo.

Así que creemos la recta normal a la superficie sobre el punto donde incide el rayo, para esto crearemos primero una recta tangente al punto donde incide nuestro rayo; nos dirigimos a la tercera ventana de la barra de herramientas y seleccionamos la opción correspondiente, hacemos click sobre el punto y luego sobre la superficie:

La normal es una recta perpendicular a la tangente en ese punto así que vamos de nuevo a la tercera ventana de la barra de herramientas y seleccionamos la opción que correspondiente para crear rectas perpendiculares; al hacerlo damos click sobre el punto y luego sobre la recta tangente:

La normal nos servirá para crear nuestro rayo reflejado y además verificar que los ángulos sean iguales.

Para crear el rayo reflejados iremos a la novena ventana de la barra de herramientas y seleccionaremos la opción de simetría axial luego de seleccionada la opción daremos click sobre el rayo incidente y luego sobre la normal, se nos creará un segmento que es un "reflejo" del rayo incidente:

Al estar conectado con el punto móvil tenemos rayos reflejándose en cada punto:

Llegado este punto ya tenemos todo lo necesario sobre nuestro fenómeno, activamos la opción de rastro para el rayo reflejado y:

Como era de esperarse vemos que el resultado de todos los rayos reflejados nos da un cardioide, ahora solo falta darle vida a esa fea estructura gris... Ocultamos los objetos innecesarios, agregamos colores y estilos a las líneas líneas y listo:

Hemos recreado el fenómeno y tenemos nuestra simulación preparada para ser exportada como animación .gif o el formato que elijamos.

Si situamos el foco fuera de la circunferencia obtenemos una nefroide, el resto de los pasos para la construcción son los mismos:

Y así terminamos con las simulaciones de este interesante fenómeno, quiero agradecer a todos los que me leen y especialmente a aquellos que en el artículo anterior de esta serie me dejaron su agradable comentario.

Espero les haya gustado este post y empiecen a explorar este increíble software para crear por ustedes mismos sus animaciones, solo deben dar rienda suelta a su creatividad e imaginación.

Para leer contenido de calidad sobre ciencia los invito a visitar la etiqueta #stem-espanol.

Cualquier duda y sugerencia les agradecería que me la hicieran saber en los comentarios.

Todos las animaciones han sido hechas por mi usando el software GeoGebra Classic 5, las capturas de pantalla que he tomado pertenecen al mismo.