Deducción de la identidad de Euler: La más bella y elegante ecuación de las matemáticas

sergioddy5 (31)in #spanish • 7 years ago (edited)

Leonhard Paul Euler, sin lugar a dudas el más prolífico matemático del siglo XVIII y posiblemente de todos los tiempos; además de matemático fue físico y filósofo, llego a escribir más de 30.000 páginas (más de 80 volúmenes), sobre cálculo, física, óptica, mecánica,ingeniería, filosofía , una hazaña que no pueden hacer las mentes mediocres aunque se propongan escribir sólo cosas sin sentido.

Su manera original y elegante de notación matemática ha trascendido hasta nuestros días, ha sido quien más ha influido en el análisis matemático con su acuciosidad, organización, sistematización y elegancia, al presentar aspectos complejos de la matemática, de la manera más simple y precisa.

La llamada "Identidad de Euler", es un caso especial y particular de una fórmula desarrollada por Euler a partir de series de potencias, que no son más que la representación de funciones a partir de sumas infinitas de términos, a la cuales siempre dispensó una particular atención. Su identidad es un poema matemático sencillo, pues posee 5 números emblemáticos en la historia de las matemáticas:

$e$ (número de Euler): Un número trascendente que aparece en muchos fenómenos naturales
$\pi$ (número pi): Un número trascendente que relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro
$i$ (número i): Unidad imaginaria, cuyo valor es la raíz cuadrada de -1, y constituye la base de los números complejos
$0$ (número 0): Elemento neutro para la suma
$1$ (número 1): Elemento neutro para la multiplicación.

[Identidad de Euler](http://instintologico.com/un-pequeno-homenaje-a-euler/)

Euler hizo la deducción de la fórmula que aparece a la derecha, empleando series de potencias a las que era gran aficionado, sin embargo yo particularmente haré primeramente una deducción un tanto más sencilla y fácil de recordar, para luego proceder a hacer de la manera más breve y simple posible la relativamente larga deducción que hizo este gran genio matemático de todos los tiempos.

@Sergioddy5

A la derecha observamos el "Plano Complejo". De manera que el vector

$\overrightarrow{z}= \begin{vmatrix} Z \end{vmatrix}(Cos \phi +iSen\phi)$

suponiendo el módulo $\begin{vmatrix} Z \end{vmatrix}=1$ nos queda

$\overrightarrow{z}=(Cos \phi +iSen\phi)$

Luego derivo el vector Z respecto al ángulo $\phi$ (lo que representa la velocidad de giro del vector, cuando barre el área circular)

$\frac{\mathrm{d(\overrightarrow{Z})} }{\mathrm{d} \phi }=\frac{\mathrm{d(Cos\phi +iSen\phi )} }{\mathrm{d} \phi }$ = $-Sen\phi +iCos\phi$

por tanto la ecuación (a) será: $\frac{\mathrm{d(\overrightarrow{Z})} }{\mathrm{d} \phi }=-Sen\theta +iCos\phi$

¡ATENCIÓN! Ahora la genialidad consiste en darse cuenta que:

$i=\sqrt{-1}$
$i^{2}=-1$

al sustituir en la ecuación (a): $-Sen\theta =i^{2}Sen\phi$

sabiendo que: $i^{2}=-1$

Nos queda:
$\frac{\mathrm{d\begin{matrix} (\overrightarrow{Z}) \end{matrix}} }{\mathrm{d} \phi }=i^{2}Sen\phi +iCos\phi$

Sacando factor común i quedará:

$\frac{\mathrm{d\begin{matrix} (\overrightarrow{Z}) \end{matrix}} }{\mathrm{d} \phi }=i(iSen\phi +Cos\phi)$

ahora podemos observar que lo que está entre paréntesis es:
$(iSen\phi +Cos\phi)= Z$

De manera que sustituyendo:
$\frac{\mathrm{d(\overrightarrow{Z})} }{\mathrm{d} \phi }=i\overrightarrow{Z}$

Ordenando variables a ambos términos de la ecuación:

$\frac{\mathrm{d} (\overrightarrow{Z})}{ \overrightarrow{Z}}=i{\mathrm{d} \phi }$

Aplicando la integral a ambos miembros de la ecuación:

$\int \frac{dZ}{Z}=\int id\phi$

Lo que da como resultado al resolver la integral indefinida:

$Ln \begin{vmatrix} Z \end{vmatrix}=i\int d\phi =i\phi \rightarrow e^{^{Ln \begin{vmatrix} Z \end{vmatrix}}}=e^{i\phi } \rightarrow Z=e^{i\phi }=(Cos\phi +iSen\phi )$

@sergioddy5

Esta es la ecuación de Euler en términos generales:

Ahora para el caso particular de $\phi =\pi$

quedaría al sustituir:

$e^{i\pi }=Cos(\pi) +iSen(\pi)$

y sabiendo que:

Así se vería la ecuación particular.

$e^{i\pi }=-1+0$

¡Y de acá!

RESULTA LA MÁS BELLA Y ELEGANTE ECUACIÓN DE LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

Identidad de Euler

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7 years ago in #spanish by sergioddy5 (31)

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steemitboard (66) 7 years ago

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sergioddy5 (31) 7 years ago

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