¿Números o letras?, ¿estoy en álgebra o en aritmética?

Uno de los aspectos de la matemática acerca del cual me gustaría hablar es sobre su partes, y además, me gustaría establecer las fronteras entre esas partes.
Comencemos hoy con la aritmética y el álgebra

Fuente

Te presentan la siguiente expresión: 4.3 +1, de inmediato se te ocurre que debes obtener el resultado de la misma, y sin tener mayores dificultades, lo resuelves. Pero si te presentan la expresión 4x+1, comienzas a dudar, y te preguntas ¿qué resultado se debe obtener? Comienzas a pensar que el resultado depende del valor de la letra x, y que de acuerdo a ello, la expresión tendrá un valor específico.
A continuación te presento algunos resultados en la siguiente tabla:

x	4x+1	Resultado
-1	4(-1) +1	-3
0	4.0+1	1
1	4.1 +1	5

.
.
.

m	4m+1	4m+1

Volviendo al ejemplo inicial, en el primer caso estamos ante una expresión aritmética, y en el segundo caso, ante una expresión algebraica. La diferencia entre las dos consiste en que la aritmética involucra operaciones entre números conocidos, en cambio la algebraica involucra las mismas operaciones y propiedades que se utilizan en las expresiones aritméticas, pero usa números y letras, a esas letras se les denomina variables, porque ellas pueden representar cualquier cantidad en específico.
Por ejemplo, nuestra expresión inicial 4.3 +1, es un caso específico de 4x+1, cuando x vale 3.
Cómo hemos visto, entre estos tipos de expresiones existen fronteras, estas fronteras están bien delimitadas en sectores de la matemática que se encargan de su estudio por separado.
Ellas son:

• La aritmética, es la parte de la matemática que se encarga del estudio de las expresiones que involucran, a través de las operaciones elementales y la aplicación de sus propiedades, solo números. Este tipo de expresión recibe el nombre de expresión aritmética.
• El álgebra, es la parte de la matemática que se encarga del estudio de las expresiones que involucran, a través de las operaciones elementales y la aplicación de sus propiedades, números y variables (letras).

Como verán, el álgebra es una extensión de la aritmética, en ella se utilizan las mismas operaciones y sus propiedades que en la aritmética, sólo que aparecen las variables, las cuales se manipulan como números, se encuentran en un dominio numérico que se estableció como ámbito.
Las expresiones algebraicas pueden quedar en suspensión, o pueden ser resueltas. Quedan en suspensión cuando admite infinitas soluciones, como es el caso planteado en la tabla anterior; o pueden tener soluciones finitas, como es el caso de las ecuaciones.
Cuando decimos 4x+1=12, solucionamos la ecuación, y conseguimos el valor de la x, el cual es 3. Pero cuando decimos 4x+1, la x puede tener infinitos valores, estamos en frente de una expresión algebraica en suspensión.
Veamos el siguiente ejemplo:
Si José tiene x años, Julia es 4 años más joven que José y Alfredo tiene tres años más que Julia, ¿Qué edad tiene Alfredo?

José	Julia	Alfredo
x	x-4	(x-4) + 3= x-4 +3= x -1

La respuesta al problema es que Alfredo tiene un año menos que José, lo cual queda en suspensión, ya que no sabemos la edad de José.
Veamos este otro problema:
En una clase de matemáticas para la administración hay 52 estudiantes, Si el número de chicos es 7 veces más que el doble de chicas, determine el número de chicas en la clase.
Se ve claramente que para resolver el problema hay que plantear una ecuación, los datos son los siguientes:
N° de chicas: x
N° de chicos: 2x +7 (El doble de la cantidad de chicas aumentado en 7)
La suma total entre chicas y chicos es 52, esto es:
x+(2x+7)=52
Eliminando el paréntesis y reduciendo los términos semejantes nos queda: 3x + 7 = 52.
Despejando la x se tiene que: x= (52-7)/3
De donde x=45/3
Esto es x=15.
En la clase de matemáticas hay 15 chicas y 37 chicos.

Fuente