El conjunto de los números reales R/ operaciones en R y sus propiedades

El conjunto R de los números reales

Fuente

Este conjunto resulta de la unión de dos grandes conjuntos numéricos, ellos son Q el conjunto de los números Racionales, e I el conjunto de los números Irracionales.
Este es:

R= Q U I (U significa unión)

Es bueno recordar que el nombre de los números racionales se debe a que todo número racional se obtiene de la razón (razón en matemáticas significa "división") de dos números enteros, este aspecto es el carácter definitorio de todo número racional. En cambio los irracionales se obtienen de otra manera que podría variar dependiendo de su ser, es decir, lo que es, por ejemplo en el caso de la longitud de la circunferencia y su relación con su diámetro aparece el número "pi" π ≈ 3,14159265359…; otro ejemplo lo tenemos en el siguiente límite

En este caso estamos en presencia de el número e cuyo valor se aproxima a 2,71828182846… cuando se evalúa el límite. (Verifícalo con tu calculadora)

Existen infinidad de ejemplos que podrían ilustrar este conjunto numérico. ¿Podrías aportar algún otro ejemplo?


A manera de conclusión se puede afirmar que todo número real es racional o irracional, pero no ambas cosas simultáneamente, si es racional no es irracional y viceversa.

Operaciones básicas con números reales

En este conjunto tenemos garantizadas todas las operaciones matemáticas básicas, es el conjunto donde se fundamenta la matemática que manejamos cotidianamente, pero tiene una debilidad, y es que en este conjunto no se puede realizar la operación √(-1), por lo tanto, aquí falla R y hace su aparición el conjunto de los números complejos C, el cual estudiaremos en otra oportunidad.

Operaciones números reales y sus propiedades

Adición
Sean a,b y c tres números reales cualquiera, entonces:

1.-Clausura: Si sumamos dos números reales cualquiera a y b, el resultado o suma a+b también es un número real.

2.-Conmutativa: Para todo par de números reales a y b se cumple que a+b=b+a. El orden de los sumandos no altera la suma.

3.-Asociativa: a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)=b+(a+c). Esto es: para más de dos sumandos, el orden de agrupación no altera la suma.

Nota: Estas propiedades son validas para la multiplicación.
4.- Distributiva: Esta propiedad combina las dos operaciones de adición y multiplicación, y dice lo siguiente: a(b+c)= a.b+a.c

Esto es: Si multiplicamos un número real por una suma de números reales entonces se distribuye el factor con respecto a los sumandos y se suman los resultados.

5.-Existencia del elemento neutro

Existen los números reales 0 y 1 tales que:

0 es el elemento neutro para la adición de números reales ya que para todo número real a se cumple que a+0=0+a=a

1 es el elemento neutro para la multiplicación de números reales ya que para todo número real a se cumple que a.1=1.a=a

6.- Existencia del: opuesto o simétrico para la adición, y el inverso multiplicativo para la multiplicación de número reales.

Para todo número real a existe otro número real -a tal que a+ (-a)= -a + a= 0

Para todo número real a (distinto de 0) existe 1/a tal que a.(1/a)= (1/a).a=1

Ejemplos:

(a) y( 2x +3x²)=2xy + 3x²y (Aquí se aplicaron las propiedades conmutativa y distributiva.)

(b) 7a +3a³=(7 + 3a²)a (Aquí se aplicó la propiedad distributiva)

(c) 2x. 6y=(2.6)xy= 12xy (Se apilicó propiedad asociativa)

(d)5x(2xy +3yz) + 4x²y= 5x.2xy + 5x. 3yz + 4x²y=5.2xxy +5.3xyz+ 4x²y= 10x²y +15xyz + 4x²y= (10x²y+ 4x²y)+15xyz =(10+4)x²y+15xyz=14x²y+15xyz (Se aplicaron todas las propiedades)

Referencia

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real