Mathématiques #5 : Qu'est-ce que l'injectivité ?

Nous allons essayer ici de définir, toujours sous forme de vulgarisation, ce qu'est l'injectivité en mathématiques.

Considérons une application f de E dans F, c'est à dire : E est l'ensemble de départ et F est l'ensemble d'arrivée.
Prenons pour exemple la fonction f(x) = 2x -3 de R dans R 

Représentation graphique de la fonction f(x) = 2x - 3 

Par exemple, si vous n'êtes pas familier avec cela, 2 a pour image 1 car 2(2) - 3 = 1

On a donc le point de coordonnées (2;1) et on voit sur le graphique que la droite passe bien par ce point.

Nous allons essayer de déterminer si cette fonction est injective. 

L'injectivité est intuitivement assez simple puisqu'il suffit que tout élément de l'ensemble d'arrivée ait au plus un antécédent. On peut comprendre par cette phrase que même en l'absence d'un antécédent, cela fonctionne. 

La définition formelle (que je vais dire ici avec des mots) est très élégante : 

Pour tous x et x' dans E, f(x) = f(x') implique que x = x' 

Cela signifie ni plus ni moins qu'on ne peut jamais avoir deux ou plusieurs antécédents. Si les images sont égales alors les points de départ le sont aussi. 

Qu'en est-il de notre fonction ? 

f(x) = 2x – 3 est une fonction affine qui par définition est une droite (non verticale, ni horizontale). Ainsi, tout élément de cette droite ne peut avoir, trivialement, qu'un seul antécédent. Cette fonction est donc injective.(on le voit bien sur le graphique) Montrons-le néanmoins de manière plus rigoureuse :

Supposons qu'il existe deux antécédents :

Soit f(x) = f(x'). Nous avons donc :

2x - 3 = 2x' - 3

x = x' , ce qui est une contradiction. Ainsi f(x) = f(x') implique x = x' et f est injective.

 
Est-ce également le cas de f(x) = x2 ? (la fonction " carrée ")

Représentation graphique de la fonction carrée 

Nous avons affaire ici à une fonction quadratique qui est une parabole. 

Nous voyons ici que f(x) = f(-x) pour tous x dans R. Par exemple 2 au carré est égal à -2 au carré = 4. Ainsi, le point d'arrivée 4 a deux antécédents, 2 et -2. Par conséquent la fonction n'est pas injective. 

Nous verrons dans le prochain article ce que signifie la sujectivité. 

Credit : Valuematik