1.-Pruebe que si 2 ≤ p <+ ∞ y a , b son números reales , entonces vale la desigualdad de Clarkson:

|a+b|^p+|a −b|^p ≤ 2^p−1(|a|^p+|b|^p)
Solución. Basta ver que

|(a+b)/2|^p+|(a −b)/2|^p ≤ 1/2(|a|²+|b|²)
Vamos a demostrar la desigualdad
α^p+β^p≤( α²+β²)^p/2, ∀ α, β ≥ 0 (*) .
Considere la función real:
f(x) = (x²+ 1)^p/2 − x^p − 1, ∀ x ≥ 0.

Es fácil ver que está bien definida y es creciente. Tenemos que:
((α/β)^p+ 1)≤(α/β)²+1)^p/2 de lo que se deduce (*).

Par el caso general, considere α=|(a+b)/2| y β=|(a−b)/2|, luego

|(a+b)/2| ^p+|(a−b)/2|^p≤( |(a+b)/2|²+|(a−b)/2|²)^p/2=

1/2(|a|²+|b|²)≤1/2(|a|^p+|b|^p)

deducimos

|a+b|^p+|a −b|^p≤ 2^p−1(|a|^p+|b|^p) ෍


2.- Pruebe que si X = l_p(Z⁺) ={ (a₁, a₂, ⋯ ): a_k ∈ R, ∑_{k ≥1}|a_k|^p <+ ∞ } con p ≥ 2; entonces l_p(Z⁺) es un espacio de Banach uniformemente convexo .


Solución. Recuerde que (|| (a₁, a₂, ⋯ )||_p=(∑_{k ≥1}|a_k|^p)^1/p

Sean x=(a₁, a₂, ⋯ )x, y = (b₁, b₂, ⋯ ) tales que ||x||_p ≤ 1, ||y||_p≤ 1 . Por la desigualdad de Clarkson tenemos que:

∑_{k ≥1}|a_k+b_k|^p+∑_{k ≥1}|a_k−b_k|^p ≤ 2^p−1(∑_{k ≥1}|a_k|^p+∑_{k ≥1}|b_k|^p)

Es decir ||x+y||_p^p+ ||x−y||_p^p ≤ 2^p−1(||x||_p^p+||y||_p^p)

Supongamos que ||x−y||_p^p≥ε^p (ε > 0), luego

||x+y||_p^p ≤ 2^p−1(||x||_p^p+||y||_p^p) −||x−y||_p^p≤ 2^p−1(||x||_p^p+||y||_p^p)− ε^p≤

2^p(1−(ε/2))^p)

Es decir

||(x+y)/2||_p^p ≤ (1−(ε/2))^p)

Si

δ=δ(ε)=1−((1−(ε/2))^p))^1/p

se demuestra que

||(x+y)/2||_p≤1− δ
lo que prueba lo pedido.
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3.- Sea X un espacio de Banach uniformemente convexo M es un subconjunto cerrado y convexo de X , entonces para γ = inf_x∈M||x|| existe un único x₀ ∈ M, tal que γ = ||x₀|| .

Solución. Existen x_n ∈ M, tales que ||x_n||→ γ. Si γ = 0, no hay nada que probar. Supongamos que γ ≠ 0. Sea ||x_n|| = γ_n , entonces || x_n/γ_n|| =1. Como
γ_n/(γ_n+ γ_m)+γ_m/(γ_n+ γ_m)=1

luego

y_nm =γ_n/(γ_n+ γ_m)x_m+γ_m/(γ_n+ γ_m)x_n∈ M


Por lo tanto ||y_nm|| ≥ γ. Así

1/2|| x_m/γ_m+x_n/γ_n||=||y_nm||(γ_n+ γ_m) /2γ_n γ_m ≥ γ(γ_n+ γ_m) /2γ_n γ_m
Pasando al límite se deduce que 1/2|| x_m/γ_m+x_n/γ_n||→1. Es decir la sucesión {x_n/γ_n} es de Cauchy, luego x_n/γ_n→x, para algún x ∈ X, se deduce que x_n→ γx=x₀ ∈ M y como || x||=1 y ||γx||=γ, hemos hallado un x₀∈M que cumple lo pedido. Sólo resta demostrar que es único.

Sea z∈ M tal que ||z||=||x₀||. Si z≠x₀, es claro que ||x₀/γ −z/γ||=ε >0, luego existe un δ, tal que

||(z/δ+x₀/δ)/2||=||(z/2+x₀/2)/ δ)||≤1− δ

pero (z/2+x₀/2)/ δ ∈ M, lo que es contradictorio, porque ||(z/2+x₀/2)/ δ)|| < δ .
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4.- Pruebe que el espacio de Banach C₀={ (a₁, a₂, ⋯ ): a_k ∈ C, a_n→0 }, donde

||(a₁, a₂, ...)||_∞=sup_n|a_n|,
no es uniformemente convexo.

Solución. Sean x = (1,1, 1/2,1/3,...,1/k,...), y=(1.0,1/2,1/3,...,1/k,...).

Es claro que ||x||_∞=||y||_∞=1. Como x − y = (0,1,0,0. ⋯, 0, ⋯) , luego
||x−y||_∞ = ε = 1, pero no existe 0 < δ < 1 , tal que

||(x+y)/2||_∞= ||(1, 1/2,1/3,...,1/k,...)||_∞=1 ≤ 1 − δ

Esto prueba lo pedido.

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