EJERCICIOS RESUELTOS DE ESPACIOS SEPARABLES

Ejercicio 1. Demuestre que el espacio de Banach

l_p(Z⁺)={ (a₁, a₂,...,a_k,....): a_k∈C , |a₁|^p+|a₂|^p+....+|a_n|^p+... <+∞} es separable.

Solución. Recuerde que en l_p(Z⁺) se define la norma


| |(a₁, a₂,...,a_k,....)||= (|a₁|^p+|a₂|^p+....+|a_n|^p+... )^1/p.



Considere W={ (a₁, a₂,...,a_k,....): a_k∈Q , |a₁|^p+|a₂|^p+....+|a_n|^p+... }, Es claro que W es numerable, veamos que es denso en l_p(Z⁺).

Sea x=(a₁, a₂,...,a_k,....) ∈ l_p(Z⁺) y ε>0, existe n₀ tal que |a_n|^p+|a_n+1|^p+... +...< ε/2, para todo n> n₀
.
Por otro lado, existen b_k= r_k+is_k (r_k, s_k números racionales , k=1,2,...,n₀) con |a₁− b₁|^p+...+|a_n0− b_n0|^p< ε/2 .



Se sigue que

||(a₁, a₂,...,a_n0,a_n0+1,a_n0+2,...)−(b₁, a₂,...,b_n0,0,0....)||^p< ε^p y por lo tanto la demostración.

Ejercicio 2

Demostrar que el espacio
l_∞(Z⁺)={ (a₁, a₂,...,a_k,....): a_k∈C , sup_{k ≥1} |a_k|<+∞} es separable.

Solución. Recuerde que en l_∞(Z⁺) se define la norma mediante

| |(a₁, a₂,...,a_k,....)||=sup_{k ≥1} |a_k|.

Supongamos que existe una familia densa numerable W={ x_n } en l_∞(Z⁺) .

Si x_n=(a₁ⁿ, a₂ⁿ,...,a_kⁿ,....), definamos x=(a₁, a₂,...,a_k,....), donde:
a_k=a_k^k+1 si |a_k^k|≤1 y a_k=0 si |a_k^k|>1. Obtenemos que:
||x−x_k||≥ |a_k−a_k^k| ≥1 lo que conduce a una contradicción.

Ejercicio 3. Dar un ejemplo de un espacio normado X y un subespacio propio cerrado de X en que X/M es separable pero X no lo es.

Solución. Considere X=l_∞(Z⁺)⊕ l_p(Z⁺) con p≥1.

Recuerde que ||(x,y)||=||x||+||y||.

Como l_∞(Z⁺)⊕ l_p(Z⁺)/l_∞(Z⁺)⊕0≅l_p(Z⁺) es separable y M= l_∞(Z⁺)⊕0≅l_∞(Z⁺) no es separable, luego X no es separable y por lo tanto se obtiene lo propuesto.

Ejercicio 4.Sea el espacio de Banach C[a,b ]={ f:[a,b ]→R: f continua} donde la norma es la del supremo. Demuestre que es separable.

Solución. Sea W la familia de las funciones poligonales

x^{^}(t)=s_k+((s_k+1−s_k)/(t_k+1−t_k))(t−t_k) (t_k≤t≤t_k+1) con a=t₀<t₁<....<t_n=b una partición del intervalo [a,b ], donde los s_k, t_k son números racionales salvo los extremos.

Sea x(t) una función continua sobre [a,b ], luego es uniformemente continua y por lo tanto dado ε>0, existe un δ>0, tal que si |s−t|<δ, entonces |f(s)−f(t)|<ε/4.

Consideremos una partición a=t₀<t₁<....<t_n=b con max|t_k+1−t_k|<δ con los t_k racionales, salvo los extremos. A a vez elijamos números racionales s_k tales que |x(t_k)−s_k|<ε/4.



Si t_k≤t≤t_k+1, luego

x(t)−x^{^}(t)=(t_k+1−t)/(t_k+1−t_k)(s_k−x(t_k)+(t−t_k)/(t_k+1−t_k)(s_k+1−x(t)).

como

|x(t)−x^{^}(t)|≤|s_k−x(t_k)|+|x(t_k)−x(t)|+|s_k+1−x(t_k+1)|+|x(t_k+1)−x(t)|<ε, se deduce que W es denso en C[a,b ], .

Ejercicio 5. El rango de un operador compacto es separable.

Solución. Sea K:X→X un operador compacto donde X es un espacio de Banach, luego dado una bola cerrada B(0,m), como K(B(0,m)) es relativamente compacto y por lo tanto dado ε=1/n, existen y^m₁,..., y_rn^m, tales que si y∈K(B(0,m)), existe y_rk^m tal que ||y−y_rk^m||≤1/n. Esto dice que K(B(0,m)) es separable y como X=B(0,1)∪B(0,2)∪...∪B(0,m)∪..., entonces K(X)=K(B(0,1))∪K(B(0,2))∪...∪K(B(0,m))∪... de lo que se deduce lo afirmado.

Fuente
Martin Schechter (1970) Principles of functional analysis. Academic Press. New York.