CON EL LEMA DE NAKAYAMA

Asumimos que M es un módulo finitamente generado sobre un anillo A conmutativo con unidad.

El siguiente resultado, de una simplicidad asombrosa, determina todo de lo que se quiere demostrar.

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Teorema 1. Sea M un A-módulo finitamente generado sobre A, y α un ideal de A. Si f:M→M es un endomorfismo de módulos, tal que f(M) ⊂ αM, entonces existe un polinomio mónico F(X)∈ α[ X], tal que F(f)=0.

Demostración. Sea M=Ax₁+...+Ax_n para ciertos x_i∈M (i=1,2,...,n), tenemos:

f(x_i)=a_i1x₁+...+a_inx_n (a_ij∈ α, i=1,2,...,n)

De lo anterior deducimos que

(δ_i1f−a_i1I)(x₁)+....+(δ_inf−a_inI)(x_n)=0.

Si denotamos por R={ F(f): F∈A [ X]} ⊂ End(M) (los morfismos de M en sí mismo), luego

H=(δ_ijf−a_ijI)∈M_n×n(R) y si denotamos por H^* su matriz adjunta, entonces H H^*=det(H)I, de lo que se deduce que det(H)x_i=0, para todo i. Esto demuestra que det(H)=fⁿ+a₁fⁿ⁻¹+....+a_nI con cada a_i∈ α. Se deduce la prueba.∎

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Veamos algunas puntualidades del resultado anterior:

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Supongamos que fⁿ+a₁fⁿ⁻¹+....+a_n I=0 (a_i∈ α).
Despejando queda: a_n I= −fⁿ−a₁fⁿ⁻¹−....−a_n−1f .
Deducimos que a_n M ⊂ T(M).

Si f es inyectiva, podemos hallar una expresión fⁿ+a₁fⁿ⁻¹+....+a_n I=0 con a_i∈ α y a_n ≠0.

Supongamos ahora que f(m)=am , Para todo m ∈ M con a∈α; luego (fⁿ+a₁fⁿ⁻¹+....+a_n I)(m)=(aⁿ+a₁aⁿ⁻¹+....+a_n )(m)=0, es decir (aⁿ+a₁aⁿ⁻¹+....+a_n)∈An(M).

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Corolario 1. Sea M un A-módulo finitamente generado sobre A, y α un ideal de A. Si f:M→M es un endomorfismo de módulos, tal que f(M) = αM, entonces existe un para ciertos x≡1(mod α) tal que xM=0.

Demostración. Si f=I, luego (1+a₁+....+a_n)M=0 y por lo tanto x=1+a₁+....+a_n cumple lo pedido.∎

Antes de demostrar el resultado principal, recordemos que si A es un anillo conmutativo con identidad, el radical de Jacobson 𝒎 es la intersección de todos sus ideales máximales. Un x ∈𝒎, si y sólo si, 1 −xy es una unidad, para todo y ∈A.

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Teorema 2 (Lema de Nakayama). Sea M un A-módulo finitamente generado sobre A, y α un ideal de A. Si M= αM con α un ideal de A contenido en el radical de Jacobson, entonces M=0.

Demostración. Por el corolario 1, existe x−1 ∈ α ⊂ 𝒎 , luego 1 −(x−1)=−x es una unidad del anillo A y al ser xM=0, deducimos que M=0.∎

Se obtiene el siguiente corolario:

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Teorema 3 . Sea M un A-módulo finitamente generado sobre A, y α un ideal de A contenido en el radical de Jacobson. Si M= αM+N para algún submódulo N de M, entonces M=N.

Demostración. Si M= αM+N, entonces M/N=αM/N y como M/N es finitamente generado sobre A y α ⊂ 𝒎, se deduce que M/N=0. Es decir M=N.∎

Si (A, 𝒎) es un anillo local, es decir 𝒎 es el único ideal máximal y por lo tanto el radical de Jacobson del anillo, podemos considerar el cuerpo residual k=A/𝒎 y definir en M/𝒎M, la estructura de k-espacio vectorial: (a+𝒎)(m+𝒎M)=am+𝒎M, la que está perfectamente bien definida. Vale el siguiente importante resultado:

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Teorema 4 . Sean m₁,....,m_n en M, tales que las clases m₁+𝒎M,....,m_n+𝒎M forma una base de M/𝒎M, entonces m₁,....,m_n generan al módulo M.

Demostración Sea N=Am₁+....+Am_n. Si m∈M, entonces m+𝒎M=(a₁+𝒎)(m₁+𝒎M)+...+(a_n+𝒎)(m_n+𝒎M). de lo que se deduce que m−a₁m₁−a_nm_n∈𝒎M. Es decir M=N+𝒎M y por Nakayama, M=Am₁+....+Am_n.∎

Terminamos demostrando este resultado (una aplicación del lema de Nakayama), que no es más que un ejercicio del capítulo 2 de de M.F. Atiyay, y I. G Macdonal: Introducción al Algebra Conmutativa. Editorial Reverte. 1978.

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Teorema 4. Sean M y N módulos finitamente generados sobre un anillo local (A, 𝒎), tales que su producto tensorial M⊗_AN=0, entonces N=0, o M=0.

Demostración. Note que k⊗_AM≅M/𝒎M y análogamente k⊗_AN≅N/𝒎N. Como (k⊗_AM)⊗_k(k⊗_AN)=(k⊗_AM)⊗_kk)⊗_AN=(k⊗_AM)⊗_AN=k⊗_A(M⊗_AN)=0, deducimos que k⊗_AM=0, o k⊗_AN=0. Es decir M/𝒎M =0, o N/𝒎N=0 y usando el lema de Nakayama se deduce que M=0, 0 N=0. ∎