BREVES MATEMÁTICOS (TOPOLOGÍAS NOETHERIANAS)
Sea (X,τ) un espacio topológico, son equivalente: (a) Cada familia de abiertos de la topología τ tiene un elemento máximal (b) Cada sucesión ascendente de abiertos es estacionaria.
Supongamos que vale (a) y consideremos una familia de abiertos Un tal que Un ⊂ Un+1 ∀ n ∈ N. Por hipótesis existe un elemento máximal, es decir Um tal que Un⊂ Um ∀ n ≥ m de lo que se deduce que Un= Um ∀ n ≥m, lo que prueba lo afirmado.
Ahora, supongamos que (b) es cierto y sea Ui una familia de abiertos con i ∈ I. Si no existe un elemento máximal, podemos extraer una sucesión Uik estrictamente creciente, pero esto contradice la hipótesis de ser estacionaria.
Un espacio topológico (X,τ) que cumpla las anteriores condiciones se dice noetheriano.
Si un espacio topológico (X,τ) es noetheriano, entonces cada subespacio Y de X es noetheriano. Además (X,τ) es un espacio topológico compacto.
En efecto, considere la familia de abiertos relativos Ui∩Y , donde Ui ∈ τ ∀ i ∈ I. Como Ui es una familia de abiertos en un espacio topológico noetheriano, entonces existe un elemento máximal Ui0 . Es claro que Ui0 ∩Y es un elemento máximal de la familia .
Ahora supongamos que Fi con i ∈ I, es una familia de cerrado en X que tiene la propiedad de intersecciones finitas. Es claro que cada Fi ≠ ∅. Como existe un elemento minimal Fi0 de la familia de cerrados , es claro que Fi0 ⊂ ∩i Fi lo que prueba que la familia tiene intersección no vacía. Es decir X es compacto.
Veamos ahora que si (X,τ) es un espacio topológico noetheriano, entonces X es unión finita de cerrados irreducibles.
En efecto, consideremos la familia C de subconjuntos de X , donde Y es un elemento de C, si Y es cerrado y no se escribe como unión finita de cerrados irreducibles. Veamos que esta familia es vacía; de lo contrario existe Y un elemento minimal de la familia C. Es claro que Y no es cerrado irreducible, luego existen cerrados A y B, ambos no vacíos y subconjuntos propios de Y, tales que Y=A ∪ B . Es claro que A , B ∉ C, lo que asegura que Y se escribe como una unión finita de cerrados irreducibles, lo que es contradictorio. Se sigue el resultado.
Una consecuencia importante del resultado anterior, es que si R es un anillo conmutativo con identidad y (Spect(R), τZ ) es noetheriano, entonces los primos minimales del anillo es una familia finita. En efecto Spect(R)=V(P1) ∪ .... ∪ V(Pn) donde cada Pk es un ideal primo. Se deduce lo afirmado.
Recuerde que un anillo R conmutativo con identidad es noetheriano, si cada sucesión ascendente de ideales de R es estacionaria. Veamos que si R es anillo noetheriano, entonces Spect(R) con su topología de Zariski es espacio topológico noetheriano.
Antes de pasar al resultado final de estas líneas, consideremos un módulo M sobre un anillo R conmutativo con identidad . Se define el soporte del módulo como SopR(M)= { P ∈ Spect(R) : MP ≠0 } . Es conocido que SopR(M) ≠ ∅ para cada módulo M no nulo.
Lo primero importante que debemos conocer, es que si J es un ideal del anillo R, entonces V(J) = SopR(R/J) .
En efecto, sea sea P un ideal primo con J−P ≠ ∅ luego JRP={ r/s: r ∈ J , s ∈R − P })=RP y como RP/JRP=(R/J)P=0, nos dice que SopR(R/J) ⊂ V(J). Por otro lado, si P ∈ V(J), entonces JRP ⊂ PRP lo que garantiza que RP/JRP ≠0 y asegura que V(J) ⊂ SopR(R/J), lo que prueba el resultado.
Pasemos ahora a definir el concepto de anulador. Dado m ∈ M, se define su anulador, como el ideal AnnR m={ r ∈ R : r.m=0 }. El anulador del módulo M, se define como AnnRM =∩mAnnR m. Si el módulo es finitamente generado, para ciertos elementos mk∈ M, podemos escribir M=Rm1+...+Rmn . Es fácil demostrar que SopR(M)= SopR(Rm1) ∪... ∪ SopR(Rmn) .
Enunciamos el siguiente resultado importante: Si M=Rm1+...+Rmn , entonces SopR(M)=V(AnnRm1)∪... ∪ V(AnnRmn).
Es fácil demostrar que SopR(Rm)=SopR(R/AnnRmk)=V(AnnRmk) y como SopR(M)= SopR(Rm1) ∪... ∪ SopR(Rmn) se deduce lo pedido.
De lo anterior deducimos que si M=Rm1+...+Rmn, entonces SopR(M)=V(AnnRM).
En efecto SopR(M)= V(AnnRm1)∪... ∪ V(AnnRmn)=V(AnnRm1∩... ∩ AnnRmn)=V(AnnR). Es decir SopR(M) es un cerrados en el espectro del anillo con su topología de Zariski.
NOTA Es importante referir que lo desarrollado en estas notas son soluciones a los ejercicios de topología del capítulo 6 del libro de M.F. Atiyay, y I. G Macdonal: Introducción al Algebra Conmutativa. Editorial Reverte. 1978.
Supongamos que vale (a) y consideremos una familia de abiertos Un tal que Un ⊂ Un+1 ∀ n ∈ N. Por hipótesis existe un elemento máximal, es decir Um tal que Un⊂ Um ∀ n ≥ m de lo que se deduce que Un= Um ∀ n ≥m, lo que prueba lo afirmado.
Ahora, supongamos que (b) es cierto y sea Ui una familia de abiertos con i ∈ I. Si no existe un elemento máximal, podemos extraer una sucesión Uik estrictamente creciente, pero esto contradice la hipótesis de ser estacionaria.
Un espacio topológico (X,τ) que cumpla las anteriores condiciones se dice noetheriano.
Es inmediato ver que; (a) Cada familia de cerrados de la topología tiene un elemento minimal (b) Cada cadena descendente de cerrados es estacionaria.
Si un espacio topológico (X,τ) es noetheriano, entonces cada subespacio Y de X es noetheriano. Además (X,τ) es un espacio topológico compacto.
En efecto, considere la familia de abiertos relativos Ui∩Y , donde Ui ∈ τ ∀ i ∈ I. Como Ui es una familia de abiertos en un espacio topológico noetheriano, entonces existe un elemento máximal Ui0 . Es claro que Ui0 ∩Y es un elemento máximal de la familia .
Ahora supongamos que Fi con i ∈ I, es una familia de cerrado en X que tiene la propiedad de intersecciones finitas. Es claro que cada Fi ≠ ∅. Como existe un elemento minimal Fi0 de la familia de cerrados , es claro que Fi0 ⊂ ∩i Fi lo que prueba que la familia tiene intersección no vacía. Es decir X es compacto.
Veamos ahora que si (X,τ) es un espacio topológico noetheriano, entonces X es unión finita de cerrados irreducibles.
En efecto, consideremos la familia C de subconjuntos de X , donde Y es un elemento de C, si Y es cerrado y no se escribe como unión finita de cerrados irreducibles. Veamos que esta familia es vacía; de lo contrario existe Y un elemento minimal de la familia C. Es claro que Y no es cerrado irreducible, luego existen cerrados A y B, ambos no vacíos y subconjuntos propios de Y, tales que Y=A ∪ B . Es claro que A , B ∉ C, lo que asegura que Y se escribe como una unión finita de cerrados irreducibles, lo que es contradictorio. Se sigue el resultado.
Una consecuencia importante del resultado anterior, es que si R es un anillo conmutativo con identidad y (Spect(R), τZ ) es noetheriano, entonces los primos minimales del anillo es una familia finita. En efecto Spect(R)=V(P1) ∪ .... ∪ V(Pn) donde cada Pk es un ideal primo. Se deduce lo afirmado.
Recuerde que un anillo R conmutativo con identidad es noetheriano, si cada sucesión ascendente de ideales de R es estacionaria. Veamos que si R es anillo noetheriano, entonces Spect(R) con su topología de Zariski es espacio topológico noetheriano.
En efecto sean la sucesión V(Jn+1) ⊂ V(Jn) ∀ n ∈ N , descendente de cerrados , luego √Jn ⊂ √Jn+1 ∀ n ∈ N, por lo tanto existe n tal que √Jn = √Jk ∀ n ≥k . Esto prueba lo afirmado.
Antes de pasar al resultado final de estas líneas, consideremos un módulo M sobre un anillo R conmutativo con identidad . Se define el soporte del módulo como SopR(M)= { P ∈ Spect(R) : MP ≠0 } . Es conocido que SopR(M) ≠ ∅ para cada módulo M no nulo.
Lo primero importante que debemos conocer, es que si J es un ideal del anillo R, entonces V(J) = SopR(R/J) .
En efecto, sea sea P un ideal primo con J−P ≠ ∅ luego JRP={ r/s: r ∈ J , s ∈R − P })=RP y como RP/JRP=(R/J)P=0, nos dice que SopR(R/J) ⊂ V(J). Por otro lado, si P ∈ V(J), entonces JRP ⊂ PRP lo que garantiza que RP/JRP ≠0 y asegura que V(J) ⊂ SopR(R/J), lo que prueba el resultado.
Pasemos ahora a definir el concepto de anulador. Dado m ∈ M, se define su anulador, como el ideal AnnR m={ r ∈ R : r.m=0 }. El anulador del módulo M, se define como AnnRM =∩mAnnR m. Si el módulo es finitamente generado, para ciertos elementos mk∈ M, podemos escribir M=Rm1+...+Rmn . Es fácil demostrar que SopR(M)= SopR(Rm1) ∪... ∪ SopR(Rmn) .
Enunciamos el siguiente resultado importante: Si M=Rm1+...+Rmn , entonces SopR(M)=V(AnnRm1)∪... ∪ V(AnnRmn).
Es fácil demostrar que SopR(Rm)=SopR(R/AnnRmk)=V(AnnRmk) y como SopR(M)= SopR(Rm1) ∪... ∪ SopR(Rmn) se deduce lo pedido.
De lo anterior deducimos que si M=Rm1+...+Rmn, entonces SopR(M)=V(AnnRM).
En efecto SopR(M)= V(AnnRm1)∪... ∪ V(AnnRmn)=V(AnnRm1∩... ∩ AnnRmn)=V(AnnR). Es decir SopR(M) es un cerrados en el espectro del anillo con su topología de Zariski.
NOTA Es importante referir que lo desarrollado en estas notas son soluciones a los ejercicios de topología del capítulo 6 del libro de M.F. Atiyay, y I. G Macdonal: Introducción al Algebra Conmutativa. Editorial Reverte. 1978.