BREVES MATEMÁTICOS: PERMUTACIONES CIRCULARES

PERMUTACIONES CIRCULARES

Sea S_n ={σ:I_n →I_n : σ una función biyectiva}. Aquí I_n ={1,2,...,n}. Se dice que cada σ es una permutación. Es claro que en cardinal de S_n , llamado también el grupo simétrico es
|S_n |=n!=n.(n−1)...2.1.

Supongamos que σ∈S_n es la permutación σ=(i₁ ,...,i_n ) (σ(k)=i_k ) . Podemos asociarle a σ la familia de permutaciones [ σ ]={(i₁ ,...,i_n ), (i_n ,i₁ ,...,i_n−1 ),..., (i₂,...,i_n ,i₁ )}. Si pensamos una permutación como los vértices de un polígono regular inscrito en una circunferencia, la familia está conformada por todos los polígonos inscritos que se obtiene de un giro del inicial en sentido antihorario.


Si definimos la relación sobre S_n , mediante τ~σ, si y sólo si, τ∈[ σ ] ; es directo ver que define una relación de equivalencia sobre S_n y si denota el cardinal del número de familias (o número de clases de equivalencia) por |S_n /~|=r, entonces n!=n.r , de lo que se deduce que r=n!/n=(n−1)! .

Aclaremos con un ejemplo:


Ejemplo. De cuántas maneras cuatro personas pueden sentarse en una mesa redonda.

Es claro que para un observador externo, las personas que están sentadas en la mesa redonda, estarán sentadas de la misma manera, si se fueran sentando en sillas consecutivas en sentido antihorario. Es decir el número de manera sería 3!=3.2.1=6 . Veamos explícitamente las clases:

(1,2,3,4) ={ (1,2,3,4), (4,1,2,3), (3,4,1,2), (2,3,4,1)}
(1,2,4,3) = {(1,2,4,3), (3,1,2,4), (4,3,1,2), (2,4,3,1)}
(2,1,3,4) ={ (2,1,3,4), (4,2,1,3), (3,4,2,1), (1,3,4,2)}
(1,3,2,4) ={ (1,3,2,4), (4,1,3,2), (2,4,1,3), (3,2,4,1)}
(2,1,4,3) ={ (2,1,4,3), (3,2,1,4), (4,3,2,1), (1,4,3,2)}
(4,2,3,1) = {(4,2,3,1), (1,4,2,3), (3,1,4,2), (2,3,1,4)}