BREVE MATEMÁTICOS (CONJUNTOS TOTALMEMTE NO ORDENADOS Y CADENAS)

Sea (L,~ ) un conjunto parcialmente ordenado.

Se dice que A ⊂ L es un subconjunto totalmente no ordenado, si dados a, b ∈ A con a ~ b; entonces a=b. Es decir dos elemento cualesquiera de A, nunca son comparables.

Se dice que C ⊂ L es una cadena, si dados a, b ∈ A con a≠ b ; entonces a ~ b, o b~ a. Es decir dos elemento cualesquiera de C, siempre son comparables. Si una cadena C ⊂ L es finita, entonces podemos escribir C={a ₁,....,a _n} con a ₁~a ₂~...~a _n. Diremos que n es la longitud de la cadena y escribimos μ (A)=n.

Vamos a estudiar dos importantes propiedades sobre este tipo de subconjuntos en conjuntos parcialmente ordenados.

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(1) Sea (L,~) un conjunto parcialmente ordenado finito. Si el cardinal de cualquier subconjunto A totalmente no ordenado es menor o igual que n, entonces existen cadenas diferentes C₁,...,C_n en L, tales que son máximales con respecto a la inclusión y L= C₁∪ ....∪ C_n

En efecto, si |L|=n, entonces L es totalmente no ordenado y definimos

C_i={ i} (i=1,2,...,n)

Es claro que cada C_i={ i} es cadena máximal.


Supongamos que n< |L|. Existe por lo tanto un subconjunto A de L, con A totalmente no ordenado y |A|=n.

Sea W={ a∈ A: existe una cadena C de L, tal que a∈ C y C—A≠ ∅} . Vamos a demostrar que W es no vacío. En efecto, existe un b ∈ L—A. Es claro que A ∪ { b} no puede ser un subconjunto de L totalmente no ordenado. Esto dice que existe un a∈ A con a ~ b, o b~ a. Si definimos C= { a, b} es una cadena con a ∈ A y C—A≠ ∅.

Para a∈W, considere la familia

F_a={ C es una cadena en L: a ∈C y C—A≠ ∅ }.

Es claro que esta familia es no vacía. Si ordenamos F_a con la relación de inclusión conjuntista y F es una cadena en F_a con respecto a la inclusión, entonces es directo ver que ∪_C∈Fa=H es una cadena en L con H—A≠ ∅. Por lo tanto existe un elemento C_a y máximal con respecto a la inclusión
en la familia F_a.

Como L=∪_a∈A—W{ a}∪ ∪_a∈W C_a. Es claro que por definición de W, cada { a} con a∈A—W es una cadena máximal y si a, c ∈ W con a ≠ c , entonces a ∉ C_c, luego el resultado se sigue.

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(2) Sea (L,~) un conjunto parcialmente ordenado. Si cualquier C cadena de L es finita con longitud μ (C)≤n, entonces existen subconjuntos totalmente no ordenados L_i (i=1,2,...,n), tales que L= L₁∪ ....∪ L_n, con L_i–L_j ≠ ∅ para todo i ≠j .

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Haremos la prueba usando inducción en n. Si (L,~) un conjunto parcialmente ordenado y n=1, entonces L es totalmente no ordenado. Vale por lo tanto el resultado

Supongamos que para (L,~) un conjunto parcialmente ordenado y n un número natural, el resultado es cierto.

Sea ahora (L,~) parcialmente ordenado, tal que si C es una cadena en L, entonces μ (C)≤n+1.

Existe por lo tanto una cadena C={a ₁,....,a _n+1}, tal que a ₁~a ₂~...~a _n+1.

Sea W={a∈L: a es el último elemento de una cadena de longitud n+1}.

Es claro que W es no vacío y si consideramos (L–W,~), por definición de W, toda cadena C en L–W es de longitud menor o igual que n. Por hipótesis inductiva existen subconjuntos totalmente no ordenados L_i (i=1,2,...,n), tales que L–W= L₁∪ ....∪ L_n con L_j–L_i≠ ∅ para todo i ≠j . Se deduce que L=L₁∪ ....∪ L_n∪W y como W es totalmente no ordenado se deduce el resultado.




Ahora consideremos un conjunto parcialmente ordenado (L,~ ) y A un subconjunto de L. Se dice que un elemento b de L es una cota superior de A, si dado a∈ A, entonces a~b (o a=b). Se dice que b es el supremo del conjunto A y escribimos sup(A)=b, si dada otra cota superior b´ de A, entonces b~b´ (o b=b´). Es claro que, si el supremo de A existe, es único. De forma similiar se define la cota inferior de un conjunto A y el ínfimo del conjunto A (ínf(A)). Se dice que (L,~ ) es un retículo, si dados dos elementos cualesquiera x,y ∈ L, existe ínf{ x, y}= x ∧y , sup{ x, y}=x∨y.

Dado un conjunto parcialmente ordenado (L,~ ) y A un subconjunto de L, diremos que A es cofinal, si dado un x ∈ K, existe y∈ A, tal que x ~ y (o x=y).


Supongamos que W es un conjunto infinito no contable y L={ A⊂ W: A es finito}. Si ordenamos L con la inclusión, es claro que (L,⊂) es parcialmente ordenado. Veamos que ninguna cadena en L es cofinal. En efecto, sea C una cadena en L. Como ∪_A∈C A=H es numerable, existe un subconjunto finito B⊂ W−H, esto garantiza que la cadena C no es cofinal.


Finalmente veamos que si un retículo (L,~ ) es numerable, entonces existen cadenas cofinales. En efecto, supongamos que x₁, x₂,..., x_n,...; es una enumeración del retículo L. Considere la cadena C dada por los elementos y₁=x₁, y₂=y₁∨x₂, y₃=y₂∨x₃ y en general y_n+1=y_n∨x_n+1. Es claro que esta cadena es cofinal.

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