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날짜와 요일의 관계

율리우스력에서 그레고리력으로의 전환

율리우스 카이사르가 도입한 율리우스력은 다음과 같은 규칙으로 날짜를 계산하였다.

1. 평년은 일 이고, 4년마다 윤년 (366일)을 배치한다.

이는 굉장히 부정확한 날짜 계산법이었는데, 그 이유는 지구가 태양을 한 바퀴 돌아 제자리로 올 때까지 걸리는 시간이 약 일 이기 때문이다. 얼핏 보기에는 굉장히 작은 오차 같지만, 계산해보면 약 128년 마다 하루가 뒤쳐지게 된다.

카이사르는 기원전 1세기 사람이므로, 16세기 (약 1600년 뒤)에 들어서는 10일 정도가 원래의 날짜보다 뒤쳐지게 된다. 계속된 오차 누적을 감당할 수 없었던 교황청은 새로운 날짜 계산법을 고안해냈고, 교황 그레고리오 13세는 그 유명한 그레고리력을 제정하고 공포한다. 이는 다음과 같이 요약된다.

• 1582년 10월 4일 목요일 다음날을 1582년 10월 15일 금요일로 하여 오차를 한 번에 제거한다.

• 4의 배수인 해(년)를 윤년으로 한다. 단, 100의 배수 중 400으로 나누어 떨어지지 않는 해는 평년으로 한다.

즉 윤년을 정하는 조건을 2개 더 집어 넣어 강제로 오차를 제거한 것이다. 예를 들어서, 1700년은 100의 배수이지만 400으로 나누어 떨어지지 않기에 윤년이 아니라 평년이 된다. 마찬가지로 1800, 1900년 도 평년이지만, 2000년은 윤년이 된다.

날짜와 요일의 관계

율리우스력에서 날짜와 요일의 관계는 어떻게 될 까? 이는 다시말하면, 특정한 날짜가 주어지면 그 날짜의 요일을 대답해주는 관계식이 있냐고 묻는 것과 같다. 없을 이유가 없다...ㅋㅋ. 일단 이러한 관계식을 찾기 위해서는 요일을 문자그대로가 아닌 숫자로 인식해야 한다. 요일은 7일마다 반복되므로, 다음과 같이 인식하면 충분하다.

일요일 = 0, 월요일 = 1, 화요일 = 2, ..., 토요일 = 6

이렇게 인식하는 이유는, 0부터 6까지의 정수는 7로 나눈 나머지를 이루기 때문이다. 따라서 날짜

YYYY / MM / DD

가 주어지면, 요일수

0부터 6까지의 정수 중 하나인

를 출력하는 공식을 만들면 된다.

평년과 요일의 관계

먼저 YYYY 꼴의 년도를 앞 두자리와, 뒤 두자리로 나눈다. 예를 들어서, 2010년이면,

앞 두자리 20과 뒤 두자리 10 으로,

1908년이면

앞 두자리 19와 뒤 두자리 08(=8) 로 나누는 것이다.

이제 앞 두자리 수를 , 뒤 두자리수를 로 놓자. 평년은 365일 이고, 이므로, 년도가 하나 넘어갈때마다, 요일은 전년도 동일 날짜보다 하루 (나머지가 1)만큼 앞서간다. 따라서 일단 를 더하자.

윤년과 요일의 관계

4의 배수인 해는 원칙적으로 윤년이므로, 위 공식은 수정되야 한다. 어떤 수가 4의 배수일 조건은 뒤 두자리가 4의 배수일 조건과 동치이므로, 우리는 관계식에

을 더해주어야한다. 수정한 공식은 다음과 같다.

다음으로, 그레고리력에 추가된 100의 배수 조건을 살펴봐야 한다. 100의 배수인 해는 뒤의 두 자리가 00으로 끝나는 년도만 해당된다. 00으로 끝나는 해는 100년마다 돌아오고, 100년이 지날 때 마다 요일은 24번의 윤년 때문에

만큼 앞서간다. (100년전 동일 날짜에 비해) 요일이 124 만큼 앞서간다는 것은

2일 뒤쳐진다는 것과 동치이다 (-2에 주목). 100년을 앞서갔을때, 뒤의 두자리는 변하지 않으므로, 앞의 두 자리에 -2를 곱한 값을 더해

로 수정할 수 있다. 이제 400의 배수들을 생각해주자. 400의 배수인 해는 뒤 두자리는 00으로 고정되고, 앞 두자리가 4의 배수이어야 한다. 이들은 윤년이므로, 을 더해서

로 수정할 수 있다.

달과 요일의 관계

년도와 요일의 관계를 살펴봤으니, 달과 요일의 관계도 알아봐야 한다. 윤년은 2월달에 하루를 더하므로 편의상 3월을 년도의 시작으로 보고, 2월을 그 해의 마지막으로 보아, 달을 나타내는 숫자 을 다음과 같이 약속한다.

3월 = 1, 4월 = 2, 5월 = 3, ..., 12월 = 10, 1월 = 11, 2월 = 12

모든 달은 28일보다 크거나 같고, 28은 7의 배수여서 요일에 변화를 주지 않으므로, 28일보다 얼만큼 더 가지고 있는지 살펴보면 다음과 같다.

m	1	2	3	4	5
달	3월	4월	5월	6월	7월
일 수	31	30	31	30	31
더 가진 일 수	3	2	3	2	3
누적	0	3	5	8	10

6	7	8	9	10	11	12
8월	9월	10월	11월	12월	1월	2월
31	30	31	30	31	31	28
3	2	3	2	3	3	0
13	16	18	21	23	26	29

누적 0, 3, 5, 8, 10, 13, 16, 18, 21, 23, 26, 29 를 각 달의 숫작 1,2,3,..., 12와 연관지어야 한다. 5달 마다 누적 13 만큼 늘어나므로, 이들을 연관짓는 관계식은

꼴일 것이다. 이제 상수 를 구해보자.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

5개의 부등식을 모두 만족하는 의 범위는 로 좁혀진다. 편의상 로 놓자. 따라서 수정된 관계식은

이 된다.

하루와 요일의 관계

각 달 내에서, 하루하루가 지날때마다 당연히 요일도 앞당겨지므로, 일 수를 로 놓는 다면, 다음과 같이 수정해야 한다.

이제 마지막으로, 특정 값을 집어넣어서 준 식이 성립하게끔 조정해주면 끝난다. 오늘인 2018년 9월 5일은 수요일 이므로,

를 넣으면

이 나온다. 그런데 수요일은 숫자 3에 대응되므로, 관계식에 2를 더해야지만이 완성된다. 따라서,

이 완전한 관계식이다.

실제 계산

요약하면 YYYY / MM / DD 꼴의 년월일 정보로부터

• : 일 수

• : 달 (3월 = 1, 4월 = 2, ..., 1월 = 11, 2월 = 12)

• , : 각각 년도의 앞, 뒤 두자리 (만약 1월, 2월이라면 전년도를 대신 사용한다.)

를 계산하고, 이를 식

에 대입하면 요일을 알 수 있다.

• 2020년 2월 28일: 이고 2월이므로 전년도 년을 이용하여 를 계산한다.

이므로 그 날은 금 요일이다.

• 2018년 12월 25일: 올해 크리스마스는 무슨 요일일까? 이므로

즉 화 요일이다.

질문점

만약 연도가 5자리 이상 넘어가면 어떻게 되나요? 걱정할 필요가 없다. 그때에는 년도의 앞 3자리를 로 정의하면 충분하다. 그런데, 그레고리력도 3300년 마다 1일의 오차가 존재하므로, 연도가 5자리가 되기 전 어느 시점에서는 날짜 계산의 조정이 있어야 한다. 따라서, 날짜계산의 조정이 이루어지는 시점부터 다시 위의 계산을 반복하면 된다.

출처 / 인용

[1] Burton's Elementary Number Theory 6장

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마지막으로 위의 식을 파이썬 코드로 짜보면 다음과 같다.

def date_of_week(Y, M, D):
    # Find m ,c, d
    if int(M) < 3:
        m = int(M) + 10
        d = int(str(int(Y) - 1)[-2:])
        c = int(str(int(Y) - 1)[0:2])
    else:
        m = int(M) -2
        d = int(Y[-2:])
        c = int(Y[0:2])
    # Find k
    k = int(D)
    L = ['Sunday', 'Monday', 'Tuesday', 'Wednesday',
         'Thursday', 'Friday', 'Saturday']
    w = (d + (d//4) + (c//4) + (13*m-1)//5 -2*c + k) % 7
    return 'The date of the week is ' + L[w] + '!'

#---------------------
Y, M, D = input('Enter the date in YYYY/MM/DD form: ').split('/')
print (date_of_week(Y,M,D))