Introduction

저번 포스팅에서 정수 n에 대하여 ℤ/nℤ 를 정의했었는데요, 아직은 우리가 quotient group 개념을 모르기에 equivalence relation 을 이용하여 정의를 했었습니다.

오늘은 equivalence relation의 개념을 알아보고 ℤ/nℤ 의 예시를 들어 설명해 보겠습니다. 그냥 넘어가려니 찝찝해서 결국 강의를 하게 되네요..

Equivalence relation을 정의하기에 앞서 (binary) relation 을 정의하겠습니다:

Definition

이게 무슨 소리일까요.. 어떤 집합 S에 대하여 S×S의 부분집합이면 relation 이라고 하네요. 즉 순서쌍들의 집합이라는 거죠.

이해가 안되면 뭐라고 했죠? 예시를 들으라고 했죠.

Example

S=ℝ 이라고 둘게요. (ℝ은 모든실수들의 집합, the set of real numbers)

모두들 잘 아시다시피 우리는 두개의 실수의 대소비교를 할 수 있습니다. 예를 들어, 2보다 3이 크고 √3 보다 √5가 크다는건 누구나 알 수 있죠. 이때 부등호 기호를 쓰죠? 부등호 >,<는 초등학생도 알고 있는 relation (on ℝ) 입니다. (사실 좀 더 나아가서 order relation on ℝ 입니다)

나올 수 있는 예상 질문:

엥? 그런데 저기 위에 있는 정의를 보면 어떤 집합 S에 대하여 S×S의 부분집합이면 relation 이라고 했는데, 부등호가 어떤 집합의 부분집합이 될 수 있나요?

Answer:

네, 될 수 있습니다. 가령 예를 들어, 2<3 이라는 관계가 만족되는 것을 알 수 있죠. 이것을 (2,3)∈< 으로 해석 할 수 있죠. 마찬가지로 (√3,√5)∈< 입니다.
이렇게 해석을 하면 당연히 <⊂ℝ×ℝ 임을 확인할 수 있습니다.

Relation을 정의하고 잘 이해했으니, 이제 equivalence relation을 다음과 같이 정의할 수 있습니다:

Definition

Relation 중에서 Reflexive, Symmetric, Transitive 인 것들을 equivalence relation 이라고 합니다.

제가 위에 들었던 예시 부등호 <는 아쉽게도 equivalence relation이 아닙니다. 왜냐하면 1<1 은 성립하지 않기 때문이죠 (so not reflexive).

≤는 어떨까요? 모든 r에 대하여 r≤r 이 성립하기 때문에 reflexive 입니다. 하지만 2≤3 이 3≤2 를 보장하지 않으므로 symmetic 이 아닙니다.

(사실 위의 두 예시는 order relation이 됩니다)

등호 =는 equivalence relation이 됩니다. 구독자 여러분들은 한번 체크해보시기 바랍니다.

Example

자 그럼 저번 시간에 정의했던 ≡ (mod n) 이 equivalence relation이 되는지 증명해 보겠습니다: (≡ mod n 을 congruence relation, 합동 관계 라고 부릅니다)

우선, 정수 a,b,n 에 대하여 a≡b (mod n)를 n|a-b (n이 a-b를 나눈다) 로 정의했었습니다.
따라서, ≡ (mod n)은 ℤ 위에서 relation이 됩니다.

n|0, 0=a-a 이므로 모든 a에 대하여 a≡a (mod n)이 성립하여 Reflexive 입니다.

만약 정수 a,b에 대하여 a≡b (mod n) 이면 n|a-b 이고 a-b=b-a 이므로 n|b-a가 되어
b≡a (mod n) 가 됩니다. (Symmetric)

정수 a,b,c에 대하여 a≡b (mod n), b≡c (mod n) 이면 a-b=nk, b-c=nl for some integers k,l 이고, 따라서 a≡c (mod n) 입니다. (Transitive)

따라서 증명이 끝납니다.

마지막으로 연습문제 하나를 소개하고 끝내겠습니다. 한번 증명해 보시길 바랍니다.

Exercise

Let X be the set of Cauchy sequence in ℚ, where ℚ: the set of rational numbers.
Define a relation ~ on X by

{a_n}~{b_n} if lim a_n=lim b_n

Show that ~ is an equivalence relation on X.

다음 시간에는 집합 S를 equivance relation on S 로 자른다(quotient)는 개념을 배우겠습니다.

감사합니다.

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