16-02-2025 - Education - Linear Algebra - Affini Applications [EN]-[IT]

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~~~ La versione in italiano inizia subito dopo la versione in inglese ~~~

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[ENGLISH]
16-02-2025 - Education - Linear Algebra - Affini Applications [EN]-[IT]
With this post I would like to provide some brief notions about the technical topic mentioned in the subject.
The context in which we operate is that of analytical geometry or linear algebra
(code notes: MOD-91)

Affinite Applications
Affinite applications are concepts that also touch on analytical geometry.
The concept can be complex. Affinite applications and affinities are transformations of space that preserve certain geometric properties.
An affine application is a transformation of the space of the following form:

Where:
-A is an m x n matrix representing the linear part of the transformation
-b is a translation vector in R^m

Exercise
Below I try to develop an exercise, but I will not show all the steps. I will try to focus on the main phases.
Let's try to understand which of the following is the matrix associated with the affine application

Here are 3 probable solutions

Step 01
The first step to take is to find the linear transformation matrix and the translation vector
In the meantime, let's rewrite the expression in the form matrix:

linear transformation matrix

Translation vector*

Step 02
Now we need to determine the extended matrix of the affine application

Here is the matrix associated with an affine application in homogeneous coordinates:

Step 03
Now it only remains to compare the matrix found with the initial options.
So the correct option is 3, that is

Conclusions
Affinity applications are used to transform geometric figures, or create animations and simulations. One of the fields in which they are widely used is in animation. In computer animation, affinity applications allow you to transform objects and characters while maintaining their relative shape.

Question
Have you heard of affinity applications?

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[ITALIAN]
16-02-2025 - Education - Algebra lineare - Applicazioni affini [EN]-[IT]
Con questo post vorrei fornire alcune brevi nozioni a riguardo dell’argomento tecnico citato in oggetto.
Il contesto in cui operiamo è quello della geometria analitica o algebra lineare
(code notes: MOD-91)

Applicazioni affini
Le applicazioni affini sono concetti che sfiorano anche la geometria analitica.
Il concetto può risultare complesso. Le applicazioni affini e le affinità sono trasformazioni dello spazio che preservano certe proprietà geometriche.
Un'applicazione affine è una trasformazione dello spazio della seguente forma:

Dove:
-A è una matrice m x n che rappresenta la parte lineare della trasformazione
-b è un vettore di traslazione in R^m

Esercizio
Qui di seguito provo a sviluppare un esercizio, ma non mostrerò tutti i passaggi. Cercherò di concentrarmi sulle fasi principali.
Proviamo a capire quale delle seguenti è la matrice associata all'applicazione affine

Qui di seguito 3 probabili soluzioni

Passo 01
Il primo passo da fare è cercare la matrice della trasformazione lineare ed il vettore traslazione
Intanto passiamo riscrivere l'espressione in forma matriciale:

matrice della trasformazione lineare

Vettore di traslazione*

Passo 02
Ora dobbiamo passare a determinare la matrice estesa dell'applicazione affine

Qui di seguito la matrice associata a un'applicazione affine in coordinati omogenei:

Passo 03
Ora rimane solo da confrontare la matrice trovata con le opzioni iniziali.
Quindi l'opzione corretta è la 3, ovvero

Conclusioni
Le applicazioni affini sono utilizzate per trasformare figure geometriche, oppure creare animazioni e simulazioni. Uno dei campi in cui è sono molto usate è nella animazione. Nell'animazione computerizzata, le applicazioni affini permettono di trasformare oggetti e personaggi mantenendo la loro forma relativa.

Domanda
Avete già sentito parlare delle applicazioni affini?

THE END