Trigonometrie

Trigonometrie ist den meisten wohl eher als "Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens" bekannt. Mit diesen trigonometrischen Funktionen lassen sich Seiten und Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck unter bestimmten Kriterien berechnen! Trigonometrie wird auch in der Schwingungslehre verwendet mit welcher wir uns jedoch nicht in diesem Blogeintrag beschäftigen.

Was sind "Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens"

Wie bereits oben gesagt sind Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens trigonometrische Funktionen, welche zum Ausrechnen von Winkeln und Seiten genutzt werden. Der Cotangens existiert zwar wird allerdings nicht genutzt, da er mit dem Tangens überflüssig wird.
Um mit den Funktionen Winkel und Seiten ausrechnen zu können, braucht man folgende Gleichungen:

Es gibt auch eine Alternative in Form eines Merkspruches "GAGA HühnerHof AG" oder "Gustav Hausers alte Hennen gackern am Abend gerne" welche beide auf den Term verweisen. In diesem Term steht "G" für Gegenkathete, "A" für Ankathete und "H" für Hypotenuse, also der erste Part des Terms für Sinus der zweite für Cosinus und der dritte für Tangens (der vierte steht für den nicht verwendeten Cotangens).

Wie rechnet man mit Trigonometrie?

Für das Rechnen mit Sinus, Cosinus etc. braucht man zunächst einmal ein Dreieck wie dieses:
In diesem Dreieck liegt der Winkel α zwischen den Punkten CAB, der Winkel β liegt zwischen den Punkten ABC und der Winkel γ liegt zwischen den Punkten BCA. Da γ 90° beträgt, ist die Seite c also die Hypotenuse in unserem Dreieck.

Um mit den trigonometrischen Funktionen rechnen zu können bedarf es mindestens einer Seite, einem Winkel (der nicht rechtwinklig ist) oder einer zweiten Seite.
Beispiele:
a) α = 54° und c = 10cm
b) a = 10cm b = 12cm

Beispiel a wird folgendermaßen gerechnet:

Setzt man die Zahlen ein, so erhält man:

Diesen Term muss man nach a umstellen, dann erhält man:

Jetzt hat man zwei Winkel und zwei Seiten.
Den letzten Winkel rechnet man am einfachsten über den Innenwinkelsatz aus:

α + β + γ = 180° | - α
β + γ = 180° - α | - γ
β = 180° - α - γ | - γ
β = 180° - 54° - 90°
β = 36°

Und die letzte Seite rechnet man mit dem Satz des Pythagoras aus:

a² + b² = c² | - a²
b² = c² -a²
b² = 10 cm² - 8,09 cm² | √
b = 5,88 cm

Nun hat man alle Winkel und Seiten in diesem Dreieck berechnet:

a = 8,09 cm, b = 5,88 cm, c = 10 cm, α = 54°, β = 36°, γ = 90°

Beispiel b:

In Beispiel b benötigt man den Term:

In diesen Term setzt man die einem bisher bekannten Größen ein:

Diesen Term stellt man nun nach dem Winkel α um, dann erhält man:

Nun hat man zwei Seiten und zwei Winkel und kann über den Innenwinkelsatz und den Satz des Pythagoras die beiden fehlenden Größen berechnen:

a² + b² = c² | Zahlen einsetzen
10 cm² + 12 cm² = c²
244 cm² = c² |
15,62 cm = c

und

α + β + γ = 180° | - α
β + γ = 180° - α | - γ
β = 180° - α - γ | - γ
β = 180° -39,81 ° - 90°
β = 50,19°

Vielen Dank für die großartig Page Dividers an @kristyglas und für das Titelbild, was man hier findet!
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