Integración por sustitución trigonométrica//Integration by trigonometric substitution

analealsuarez (53)in #castellano • 3 years ago (edited)

Saludos Comunidad/Greetings Community

Considerando que la situación actual afecta el desenvolvimiento regular de la actividad vivencial escolar en todos los niveles educativos trasladándola del aula al hogar bajo las directrices emanadas de las instituciones escolares, se hace necesario el aporte de quienes ostentamos experiencia docente en las diferentes áreas del conocimiento; esto a través de la vía electrónica, ya que es esta la forma o herramienta táctica para ello; todo esto en plan de colaboración a la sociedad.

Considering that the current situation affects the regular development of the school experiential activity at all educational levels, moving it from the classroom to the home under the guidelines emanating from school institutions, the contribution of those of us who have teaching experience in different areas of knowledge is necessary; this through electronic means, since this is the form or tactical tool for it; all this in collaboration with society.

Particularmente soy profesional de la matemática y en tal sentido en esa área será mi aporte./I am particularly a professional of mathematics and in this sense in that area will be my contribution.

En mi post La integral indefinida de la función Valor Absoluto desarrollé la integral de una función valor absoluto, siguiendo esa misma lógica, continuaré aportando sobre este tema hasta que crea necesario cambiarlo.

In my post [The indefinite integral of the Absolute Value function] (https://hive.blog/cervantes/@analealsuarez/la-integral-indefinida-de-la-uncion-valor-absoluto) I developed the integral of a value function absolute, following the same logic, I will continue to contribute on this topic until I think it is necessary to change it.

El tema a desarrollar hoy es:/The topic to be developed today is:

Fuente/Source

Integral por sustitución trigonométrica/Integral by trigonometric substitution

Este tipo de integración se aplica cuando el integrando tiene cualquiera de estas tres formas:/ This type of integration is applied when the integrand has any of these three forms:

$\sqrt[]{a^{2}-x^{2}}$ en este caso se introduce una nueva variable/ in this case a new variable is introduced θ tal que x=asenθ
$\sqrt[]{a^{2}+x^{2}}$ en este caso /in this case x=atanθ
$\sqrt[]{x^{2}-a^{2}}$ en esta oportunidad el cambio de variable será / this time the change of variable will be x=asecθ

A continuación un ejemplo de aplicación:/ Here is an application example:

Calcule la siguiente integral:/Calculate the following integral:

$\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt[]{x^{2}+2}}$

Esta integral se puede reacomodar así:/This integral can be rearranged like this: $\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt[]{2+ x^{2}}}$ = $\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt[]{(\sqrt{2})^{2}+ x^{2}}}$
Se observa que el integrando tiene la segunda forma, por lo tanto:/It is observed that the integrand has the second form, therefore:

x= √2tanθ→ dx= √2 sec²θdθ

Luego:/Later:

$\sqrt{2+x^{2}}=\sqrt{\sqrt{2}^{2}+\sqrt{2}^{2}tan^{2}\Theta}=\sqrt{2+2tan^{2}\Theta}=\sqrt{2(1+tan^{2}\Theta)}=\sqrt{2}\sqrt{1+tan^{2}\Theta }=\sqrt{2}\sqrt{sec^{2}\Theta }=\sqrt{2}sec\Theta$

Donde:/Where:

sustitución trigonometrica.jpg
Luego:/Later:

$\int \frac{\sqrt{2}sec^{2}\Theta d\Theta}{2tan^{2}\Theta \sqrt{2}sec\Theta }=\frac{1}{2}\int \frac{sec\Theta d\Theta }{tan^{2}\Theta }$

$= \frac{1}{2}\int \frac{\frac{1}{cos\Theta}}{\frac{sen^{2}\Theta}{cos^{2}\Theta }}d\Theta =\frac{1}{2}\int \frac{cos\Theta }{sen^{2}\Theta }d\Theta$

$=\frac{1}{2}\int \frac{cos\Theta }{sen\Theta }\frac{1}{sen\Theta }d\Theta=\frac{1}{2} \int cot\Theta csc\Theta d\Theta$

$=\frac{1}{2}\(-csc\Theta )+C= \frac{1}{2}(\frac{-1}{sen\Theta })+C$ Donde C es una constante de integración./Where C is a constant of integration.

Finalmente haciendo uso del recurso de los triángulos dados, se calcula el seno del ángulo θ /Finally making use of the resource of the given triangles, the sine of the angle is calculated θ

Esto es:/ This is: senθ = $\frac{x}{\sqrt{x^{2}+2}}$

Sustituyendo este valor en el resultado anterior se obtiene el resultado definitivo de la integral:/Substituting this value in the previous result, the final result of the integral is obtained:

$\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt[]{x^{2}+2}}$ = $=\frac{1}{2}(\frac{-1}{\frac{x}{\sqrt{x^{2}+2}}})+C=-\frac{1}{2}\frac{\sqrt{x^{2}+2}}{x}+C=-\frac{\sqrt{x^{2}+2}}{2x}+C$