수학적 창의성과 문제해결

수학영재성의 한 요인으로 수학적 사고능력이 영재성에 중요한 영향을 미친다는 연구 결과에 따라 더욱더 강조되고 있습니다.

NCTM에서는 확산적이고 건전하게 수학적 사고를 자극하고 도전감 있는 과제를 학생들에게 제공하여 수학적 사고를 더욱 신장시키기 위해서 한 가지 방법이 아닌 다양한 방법과 전략을 사용하여 풀 수 있도록 해야 함을 강조하였습니다. 수학적 창의성은 Weaver와 Brawley(1959)가 말한 대로 ‘수량적인 상황을 고정된 방식이 아니라 통찰, 상상, 창의성, 독창성, 자기 지시력, 독립성, 열망, 집중력, 끈기 등을 가지고 융통성 있게 생각하고 수행하는 능력’ 으로 규정될 수도 있을 것이나, Krutetskii는 창의성에 대해 직접적으로 자세히 언급하고 있지는 않지만 주된 수학적 능력의 하나로서 사고과정의 유연성을 말하고 있습니다. 그는 “고정화 극복”이나 “자기 제한 극복” 또는 “해법을 찾는 판에 박힌 방법을 벗어나는 것”처럼 창의성의 한 가지 요인인 융통성의 측면을 강조하였습니다.

Ervynck은 수학적 창의성은 본질적으로 수학적 대상을 만들고 그 대상들의 상호관련성을 찾아내는 능력이라고 전제하면서, “수학이라는 교과의 특별한 성격을 고려하여 그 구조 속에서 사고를 개발하고 문제를 풀어내는 능력” 이라고 정의하였습니다. 수학적 창의성이 발현되는 원동력은 개념에 대한 깊이 있는 이해, 추측을 바탕으로 한 직관, 새로운 지식을 만들어 내는 추진력 있는 통찰, 장차 무엇이 중요하게 될는지를 예견하는 것과 관련됩니다.

또한, 수학적 창의성의 발달 단계를 기술적 단계 - 알고리즘 실행단계 - 창의적 실행 단계로 구분 특징을 관계적, 선택적, 적합성을 추구 및 압축으로 제시 후 일반적 창의성과 수학적 창의성의 구분 짓는 특성이라고 하였고, 둘 이상의 수학적 개념이 통합되어 새로운 것을 만들어 내는 것이라 하였습니다. 하나의 문제에 다양한 해법이 있을 때 최선의 것을 선택 후 수학적 기호와 개념들을 압축적으로 추구 하며 수학이라는 특수영역에서의 성질을 반영합니다. 또한, 문제해결의 과정을 문제 이해, 계획 수립, 계획 실행, 반성의 4단계로 설정하였고, 매 단계에서 일어나는 구체적인 활동과 사고 전략을 제시하고 있습니다. 수학적 능력은 이러한 문제해결 과정을 효율적으로 수행할 수 있는 능력입니다. Poincare는 이것을 자신의 경험에 대한 반성으로부터 수학적 발견에 이르기까지의 과정을 크게 의식적 사고단계와 무의식적 사고단계로 설명하고 있습니다. 이러한 Poincare의 생각을 이어받아 Hadamard는 수학에서의 발견적 사고의 과정을 준비기-부화기-계시기-검증기의 네 단계로 구분하였습니다. 나중에 이 단계는 보다 정교화 되어서 “창의성에 이르는 길”이라고 불리게 되었는데 이것은 매 단계의 사이사이에 몇 가지 단계를 추가하여 상세화된 단계를 포함합니다. 여기서는 부화기에서 계시기로의 전환에 많은 흥미를 보이고 있는데, 종종 부호기에서 계시기로의 전환점에 있는 사람들이 통찰을 경험하지 못하는 것은 기존의 사고 태(mental set)에 너무 집착하기 때문이거나 사고가 부적절한 선을 따라 진행되고 있기 때문으로 생각됩니다.

Polya의 발견술은 수학을 배우는 평범한 모든 학생이 문제를 해결하는 과정에서 마음속에 일어나기를 바라는 조작에 대해 말하고 있는 반면, Hadamard는 특별히 새로운 수학을 만들어 내는 과정에 대해 이야기하고 있습니다. 그런데 Polya의 의도적인 문제해결 과정과 Hadamar의 비의도적, 창조적인 문제해결 과정이 통합될 수 있다고 본이가 Armbruster입니다.

실제로 Hadamard에 의하면 문제를 풀려고 애쓰는 학생들의 활동과 창조의 활동 사이에는 오직 정도와 수준에만 차이가 있을 뿐이며, 두 가지 활동은 본질적으로 유사합니다. Poincare와 Hadamard는 수학자의 사고 특성, 수학자에게 있는 본래의 특유한 “수학적 직관”과 잠재적인 창조 활동에 대해 논의하면서 수학적 재능과 수학적 창조성에 주목하고 있으며, “논리적인 사고를 하는 고도로 발달된 능력과 높은 지능을 가진 사람은 모두 수학자가 될 수 있는가?” 라는 물음에는 ‘과학적 심미안’을 거론하며 부정적으로 답하고 있습니다. Renzulli는 인간의 영재성은 일반지적영역, 창의성, 과제 집착력이 골고루 작용할 때 나타나는 성질이라고 했습니다.