SLC S23 Semana 3 // Geometría con GeoGebra: Círculos y sus elementos.

casv (73)Venezuelan Friendin Comunidad Latina • 8 hours ago (edited)

Haciendo uso de la aplicación GeoGebra se construye de manera muy sencilla una circunferencia pulsando la herramienta básica “Circunferencia (centro, punto)”. Solo se hace click para dibujar el centro “A” y seguidamente dibujar un punto cualquiera “B”.

_{Construcción de una circunferencia y sus elementos}

Este es el primer paso para trazar y mostrar los elementos principales de la circunferencia que indicamos a continuación:

_{Elementos de la circunferencia}

_{Elementos de la circunferencia}
Centro. Es el punto equidistante a todos los puntos de una circunferencia. Lo denoté con la letra A, utilizando la herramienta de estilo de la aplicación.

Radio. Es cualquier segmento de recta que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de la misma. En este caso, uní con un segmento de recta el centro A con un punto B de la circunferencia para definir el radio de la misma. Con la herramienta de estilo le asigné un color verde, un grosor de línea 8 y un rótulo con su nombre para identificarlo en el conjunto.

Arco. Es un segmento o porción de la circunferencia delimitada por dos puntos de ésta. En este caso, utilicé la herramienta “arco de circunferencia” considerando el centro A y tracé el arco delimitado por los puntos B y C previamente definidos. Le asigné un color azul, un grosor 8 y un rótulo que lleva su nombre para identificarlo en el conjunto.

Cuerda. Es cualquier segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia que no necesariamente pasa por su centro. Dibujé un punto C cualquiera de la circunferencia, lo uní al punto B con un segmento de recta de tal manera que ésta no pase por el centro A y lo definí como la cuerda (C,B). Con la herramienta estilo le asigné un color rojo, un grosor 8 y un rótulo con su nombre para identificarlo en el conjunto.

Flecha. Es el segmento de la mediatriz entre la cuerda y el arco determinado por ésta sin pasar por el centro. En este caso, utilicé la herramienta “medio o centro” entre los puntos C y B, generando el punto de intersección con la cuerda que denominé D. A partir de allí utilicé una semirrecta que pasa por el centro A, el punto D e intersecta el arco el otro punto denominado E. Oculté la semirrecta y uní los puntos D y E con un segmento de recta denominada flecha (D,E). Le asigné un color Malva, un grosor 8 y un rótulo con su nombre para su identificación en el conjunto.

Diámetro. Es cualquier segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia siempre que incluya el centro de la misma. Se dice que es la cuerda máxima de longitud. En este caso, dibujamos un punto F en la circunferencia y a partir de allí trazamos una semirrecta que pase el centro A y que intersecta a la circunferencia en otro punto que denominado G. Ocultamos la recta y unimos estos puntos por un segmento de recta que denominé diámetro (F,G). Le asigné un color morado, grosor 8 y un rótulo con su nombre para su identificación en el conjunto.

Semicircunferencia. Es cualquier arco formado por los puntos extremos del diámetro. Este caso, utilicé la herramienta “semicircunferencia” para trazar esta curva por los puntos extremos del diámetro, F y G, denominada semicircunferencia (F,G). Ésta comprende la mitad de la circunferencia. Le asigné el color naranja, grosor 8 y un rótulo con su nombre para identificarlo en el conjunto.

Perímetro. Se refiere a la longitud del contorno de la circunferencia o línea curva que contiene todos los puntos equidistantes al centro de la misma. En este caso decidí dibujarla aparte para una mejor visualización. A este perímetro le asigné un color marrón, grosor 8 y un rótulo que lleva su nombre para identificar este elemento en el conjunto.

Tangente.
La tangente es una línea recta que toca a la circunferencia en solamente en un punto llamado punto de tangencia. La tangente en cualquier punto de una circunferencia es perpendicular a su radio.

Sector de circunferencia.
Es la porción de la circunferencia delimitada por un ángulo central entre dos radios y un arco de circunferencia.

_{Construcción del ángulo inscrito y ángulo central}
El ángulo central es aquel determinado por dos radios de una misma circunferencia y mide lo mismo que el arco que abarca.

El ángulo inscrito está determinado por dos cuerdas y cuyo vértice se encuentra en un punto de la misma circunferencia.

_{Ángulo inscrito (azul) y ángulo central (verde) sobre la cuerda AB}
En nuestro caso, el ángulo central ∠AOB mide 100º y el ángulo inscrito ∠ADB mide 50º.

Al desplazar el punto D se puede concluir que el ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central en cualquier posición del punto D.

_{El ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central}

_{Construcción de semicircunferencia a partir de un segmento}
Al trazar un segmento cualquier CD como el diámetro se construye la semicircunferencia haciendo uso de la función correspondiente en la aplicación GeoGebra. Se ubica un punto F en el semicírculo y obtenemos dos cuerdas CF y DF. Se construye el ángulo ∠CFD obteniéndose un ángulo inscrito recto (90º).

_{Movimiento del punto F de la semicircunferencia}
Al mover el punto F de la semicircunferencia encontramos que el ángulo recto se mantiene sin importar la posición que ocupe el punto F, formando en todo momento un triángulo rectángulo cuyos lados son dos cuerdas y el diámetro.

También se forma un triángulo rectángulo isósceles cuando sus cuerdas son iguales o la posición del vértice F es equidistante a cada extremo del diámetro o base. Cuando la posición de F coincide con cualquiera de los extremos del diámetro el triángulo rectángulo desaparece pues uno de sus lados se hace cero.

_{Semicircunferencia con angulo inscrito ∠CFD}

Circunferencia circunscrita

La circunferencia circunscrita en un triángulo es el círculo que pasa por los tres vértices del triángulo.

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_{Construcción de la circunferencia circunscrita}

_{Circunferencia circunscrita}
Construí el triángulo utilizando la herramienta “polígono” marcando los puntos A, B y C que configuran los vértices del triángulo. Una forma de hallar el centro de la circunferencia es aplicando la mediatriz al menos en dos vértices del triángulo. Luego aplicamos la herramienta “circunferencia (centro, punto)” marcando el centro y cualquiera de los vértices del triángulo que pertenecen a la circunferencia circunscrita.

Circunferencia inscrita

La circunferencia inscrita en un triángulo, es el círculo mayor contenido en un triángulo cuyos lados son tangentes a dicha circunferencia. El centro (incentro) de esta circunferencia se encuentra en la intersección de las tres bisectrices de los ángulos internos del triángulo.

_{Construcción de circunferencia inscrita}
Oculté la circunferencia circunscrita para trabajar sobre el mismo triángulo A, B y C. Hallamos el incentro de la circunferencia en la intersección de las bisectrices de al menos dos vértices del triángulo. Luego a partir del incentro trazamos una línea perpendicular a cualquier lado del triángulo y lo intersectamos para encontrar el punto tangente E de la circunferencia inscrita que define con un segmento ED su radio.

_{Circunferencia inscrita}
Seguidamente aplicamos la herramienta “circunferencia (centro, punto)” marcando el incentro y el punto tangente E determinado, trazando la circunferencia que efectivamente queda inscrita en el triángulo construido.

_{Circunferencia circunscrita e inscrita}
Cuando se alinean un vértice del triángulo con los otros dos, pasan a formar una línea por tanto las circunferencias desaparecen. Si un vértice se une a otro, también se forma una línea que en efecto hace desaparecer la circunferencia inscrita ya que se extingue su área.

Por el contrario, en el caso de la circunferencia circunscrita no se ve afectada a pesar de perder dos cuerdas, ya que aún preserva su centro y una cuerda suficientes para mantenerse invariable.

_{Imagen del desafío F}
Observo una circunferencia que contiene otras dos con las cuales comparte su diámetro, es decir, los centros de las tres circunferencias se encuentran alineados y son parte de este segmento de recta. Las tres circunferencias son tangentes entre sí y cada una tiene dos puntos de contacto.

Las circunferencias internas tienen un punto de contacto externo S común sobre el diámetro de la tercera circunferencia y otro punto de contacto con el interior de esta en los extremos de su diámetro.

No encontré un nombre para esta especie de cadena de círculos pero como mi imaginación me permite les llamaré “La lucha de dos mundos”, pues tal parece que un mundo trata de imponerse sobre el otro y viceversa compartiendo un mundo común donde deben convivir. Cualquier parecido con la realidad es pura coincidencia.

_{Imagen del desafío F}
Es esta composición se combinan una circunferencia circunscrita y otra inscrita en un triángulo ABC. También observo tres circunferencias que se ubican cada una en el sector circular entre la cuerda y el arco de la circunferencia circunscrita. Dichas circunferencias son tangentes a la cuerda o cateto del triángulo ABC, a la circunferencia circunscrita y a la inscrita.

Por tanto, estas tres circunferencias tienen un punto de contacto externo con el cateto del triángulo y con la circunferencia inscrita, el otro punto de contacto es un punto interior con la circunferencia circunscrita.

También puedo notar que las bisectrices del triángulo se alinean con el eje de las circunferencias correspondientes.

Mi imaginación también me permite llamar a esta composición geométrica “Mickey Mouse” haciendo alusión al personaje de Disney.

Construí una circunferencia a partir de un punto A y un radio 15 por lo que tiene un tamaño fijo. Marqué un punto B en la circunferencia, a partir de allí tracé una semirrecta que pasara por el centro A e intersecta a la circunferencia en un punto C, con lo cual queda definido el diámetro de ésta.

Sobre este diámetro ubicamos un punto S que no es fijo. Luego determinamos el punto medio entre el punto S y cada extremo del diámetro (C,B). Así obtenemos dos centros de (D,E) para las circunferencias internas alineadas en el diámetro CB.

Luego procedí a colorear las tres circunferencias construidas. Para realizar una variante utilicé la función “simetría central” para construir un espejo de la composición que me pareció bien interesante.

Espero que la escogencia de los colores les sea atractiva…

Construí un triángulo con tres puntos ABC y trazo un triángulo con la función “polígono” para darle superficie. Trazo dos bisectrices del triángulo y marco el punto de intersección D denominado incentro de la circunferencia. Desde el incentro trazo una perpendicular a cualquier lado del triángulo y marco la intersección en dicho E que representa el punto tangente de la circunferencia.

Con el incentro y el punto E trazo la circunferencia inscrita en el triángulo ABC, con esta obtengo los otros dos puntos tangentes (G,F).Trazo las tres flechas correspondientes de la circunferencia circunscrita y determino los puntos medios de estos segmentos.

Así que obtengo los centros de cada círculo tangente en el lado externo del triángulo y tangente en el lado interno de la circunferencia circunscrita como se observa en el Gif.

Para hacer algo diferente agregué el triángulo inscrito en la circunferencia inscrita del triángulo ABC trazando el polígono respectivo. Luego, procedí a colorear la figuras por capa algo que aprendí después de tantos intentos.

Espero que les gusten los colores…