Давно хотів прийняти участь в конкурсі з математики(алгебри) від @khursheedanwar, всі минулі чотири уроки збирався написати і ось почав, сподіваюся встигну до кінця дня написати та опублікувати.

Таки встиг до кінця дня, як то кажуть ще не вечір, сподіваюся гугл перекладе це все на англійську, і важкі специфічні математичні терміни в 1000 слів, вдвічі більше вимог до дамашнього завдання)

Завдання 1
Поясніть різницю між поліноміальними та раціональними виразами. Наведіть приклади кожного типу системи рівнянь та опишіть їх загальні форми.

Якщо пояснити своїми словами - то раціональний вираз це сума добутку змінної, перемноженої декілька раз, на певне число.
Якщо ж сказати математичною мовою то це поліном степеня n*. В нашій школі це вивчають у сьомому класі. Де спочатку вивчають поняття одночлена - це вираз, який є добутком чисел, змінних в певному степені.

Далі вводять поняття многочлена як суми одночленів. Іншим словом це зветься поліном, але воно в нас рідко вживається. Тобто поліноміальний вираз це і є те що ми звемо многочлен.
Отже поліноміальний вираз, поліном, многочлен - синоніми.

В загальному вигляді поліном запишеться так:

де x - змінна, a_i - коефіціенти при змінній xⁱ, причому степені i завжди не від'ємні.

Поліном, поліноміальний вираз не завжди має бути від однієї змінної

Раціональний же вираз - це частка поліномів, тобто коли один поліном ділиться на інший. Вираз де є ділення на змінну.

Навіть якщо є дія ділення(дроби), але не має ділення на змінну то це ще не раціональні вирази.
тут 2/3 1/5 - дроби, в третому прикладі хоч і має вигляд раціонального виразу але ним не є, просто ділення на число 5, в останньому прикладі теж є ділення але не на змінну.

Тут же подано раціональні вирази, так як і в чисельнику і в знаменнику - поліноміальні вирази

Завдання 2
Поясніть кроки, що використовуються для спрощення раціонального виразу. Напишіть деякі спільні множники, які потрібно скоротити.

Скорочення раціональних виразів базується на основній властивості дробу

Якщо чисельник та знаменник дробу помножити або поділити на одне і те ж число, відмінне від нуля - значення дробу не зміниться

Поширивши дане правило на раціональні вирази можемо їх спрощувати, скорочувати.
Для цього слід вміти розкладати поліноміальні вирази на множники, це головне - адже скоротити можна поділивши чисельник і знаменник на одне і те ж.

Допомогти розкласти на множники можуть такі дії:

• формули скороченного множення
• розклад квадратного тричлена на множники
• винесення спільного множника за дужки
• заміна змінної
• групування
• ділення многочленів

формули скороченного множення

приклад використання формул скороченного множення

розклад квадратного тричлена(quadratic trinomial) на множники

Квадратний тричлен можна розкласти на множники розв'язавши рівняння, x₁ та x₂ корені відповідного квадратного рівняння.

винесення спільного множника за дужки

заміна змінної

хоча це більше до розв'язку біквадратного рівняння

групування

поліном розбивається на пари, з яких виносять спільний множник за дужки, часто потім виходить що з'являється ще один вираз який можна винести також за дужки. Але це часто відразу не видно, слід йти методом спроб та помилок. З досвідом це стане робити легше.

ділення многочленів

Справжнім відкриттям для мене було те що многочлени(поліноми) можна ділити "в стовбчик" як ми ділимо звичайні числа.
Але треб знати на що ділити. Тут на допомогу прийде або ручний пошук кореня, а допоможе тут теорема Безу, точніше наслідок з неї.

Якщо поділити многочлен P(x) на x-c то залишок буде P(c). А якщо P(c)=0 то многочлен P(x) ділиться на x-c націло, тобто без остачі, а отже його можна записати як P(x)=Q(x)*(x-c). Звісно у нас цього не було в шкільній програмі, але я був допитливий - листав книги що потрапляли на очі. Одного разу на очі попала теорема Безу. Виходить що теорема Вієта як наслідок з неї.
А ще є теорема про раціональні корені, яка каже що корені можуть бути лише серед дільників вільного члена. Ці три теореми логічно пов'язані між собою.

Розгляну ділення на базі попереднього прикладу, замість групування пошукаємо підбором корені x³+3x²-4x-12 Слід перевірити на корінь числа 1,2,3,4,6,12 з різним знаком.
Знаходимо що P(2)=0 отже x=2 корінь полінома, і він ділиться на x-2

Завдання 3

Будь ласка, додайте ці многочлени: 3x²+2x+1 та 2x²-x-3, та надайте отриманий вираз.

Виконайте множення многочленів: 2x+3 і x−2, та поділіться остаточним виразом отриманого добутку.

(Вам потрібно вирішити ці задачі на папері, а потім зробити чіткі фотографії з додаванням творчого підходу та персонального стилю, що має бути позначено вашим ім'ям користувача.)

PS Є багато дошок для "малювання")), для прикладів, для роз'вязувавння задач. Як би всі не нехтували Microsoft але дошка ця мені подобається.

https://support.microsoft.com/uk-ua/whiteboard

https://whiteboard.office.com/

Я ж переважно користуюся https://miro.com/ та її безкоштовним аналогом який зберігає інформацію на дошці лиш 24 години
Непогана дошка https://idroo.com але не дозволяє вставляти картинки з буферу обміну.

То ж сподіваюся не проблема що я виконав завдання не на папері, а на онлайн дошці.
Пишу- малюю я таким от планшетом Gaomon S620 для малювання, маленький, у мене є ще один той більший 10" Huion H610Pro

Завдання 4
Сценарій №1
Припустимо, що є людина на ім'я Алі, яка має магазин виробів ручної роботи, і він продає намистини в упаковках. Вартість кожної упаковки фіксована: $5 плюс $2 за кожну упаковку. Вам потрібно:
Записати поліноміальний вираз, який представляє загальну вартість (C) покупки x упаковок намистин, враховуючи 10% знижку.
Обчислити загальну вартість, якщо Алі купує 5 упаковок намистин.
(Розв’яжіть це покроково та поясніть, як ви дійшли до остаточного результату.)

Ціна кожної упаковки 2$ отже x упаковок коштують 2х$
а якщо врахувати що за покупку ще додають 5$ то ціна за покупку складе C(x)=5+2x
Якщо врахувати знижку 10%, то вся покупка становить 90% від її ціни
отже нова формула буде
C(x)=0,9(5+2x)
Знайдемо вартість п'яти упаковок, для цього пдставимо замість невідомої змінної x відому кількість 5
Одержимо С(5)=0,9(5+25)
Усний підрахунок 0,915 важчий ніж 0,95 + 0,910 тому виконавшитаке перетворення
одержимо С(5)=0,9(5+25)= 0,95 + 0,910 = 4,5 + 9 = 13,5 ($)

Далі жовтим кольором я дописав раптом знижка не стосується 5$, хоч це малоймовірно. Текстові задачі завжди потребують роз'яснення їх тлумачення автором))

Сценарій №2
Припустимо, є фермер, який збирає x тонн пшениці і 3x тонн ячменю. Вам потрібно:
Записати раціональний вираз, який представляє відношення кількості пшениці до загального врожаю (де є пшениця та ячмінь), та спростити цей вираз.
Обчислити це відношення, якщо фермер збирає 4 тонни пшениці.

Фермер збирає x тонн пшениці і 3x тонн ячменю, отже разом він збирає x+3x=4x тонн врожаю
тоді відношення пшениці до загального врожаю буде таким P(x) = x/4x
Після скорочення одержимо P(x) = 1/4 тобто незалежно від х - 1/4 всього збору припадає на пшеницю.
Співвідношення завжди буде 1/4.

Запрошую якщо вже не в цей конкурс то в інші, в наступний шостий урок, @kouba01, @mohammadfaisal, @mahadisalim, @ahsansharif, @jyoti-thelight, @kiwiscanfly - згадайте математику))

Cc: @khursheedanwar